张掖市2020届高三年级第三次诊断考试数学试卷（理）
一、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题
给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D． 2. 设集合，则（ ） A． B． C． D． 3．右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
4. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（ ） 参考数据：，，. A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D． 6. 已知，为单位向量，当的夹角为时，投影为（ ） A． B．7.
C．
D．
在上的
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
B．
C．
D．
的图象向右平移个单位，再把图象的横坐
时，方程
，对任意的
，
有两个不同
（ ） A．8．已知函数
，把函数
标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当的实根，则实数的取值范围为（ ） A．
B．
C．
D．，当
时，
9.已知函数的定义域为
成立，若数列满足，且，则的值为
（ ） A． B． C． D．
10. 如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．
的右顶点为
为坐
11. 如图，已知双曲线
标原点，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
12. 已知函数
立（是自然对数的底数），则的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
，若对恒成
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______． 14. 设函数15. 已知数列
中，
时，不等式，若
，，设
，则等于______．
，若对
恒成立，则实数的取值范围是
任意的正整数，当______．
16. 已知
的准线交轴于点，焦点为，过且斜率大于0的直线交
______． ，则
于，
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分） 已知向量（Ⅰ）求函数
，设函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，且满足， ，求的值． 18．（本小题满分12分）
某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
一般 良好 优秀 一般 良好 优秀 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人．由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为． (Ⅰ)求，的值；
(Ⅱ)从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(Ⅲ)从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望． 19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，底面，，
. 为的中点， 为的中点，，
（Ⅰ）求与平面成角的正弦值； （Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面.若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）如图，设椭圆长轴的右端点与抛物线的离心率是
．
：
：
，
的焦点重合，且椭圆
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于， 两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．
21. （本小题满分12分）已知函数． (1)若(2)设
，证明：当，若函数
在
时,
；
上有2个不同的零点，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题共10分） 在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为
，点的极坐标为
，（为参数），曲线的普通方程为．
两点，求
的面积．
（I）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程； （II）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于 23．（本小题共10分）设 （Ⅰ）求函数
（Ⅱ）若存在实数满足
的定义域；
，试求实数的取值范围.
张掖市2019届高三年级第三次诊断考试数学（理）标准答案 题号 答案 13.6, 14.23, 15. t?1, 16. 3x2x2x21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B D D D D C B A A
311??1?sinx?cosx??sin?x??? 2226?2?????2?令2k???x??2k??,2k???x?2k??(k?Z) 6分
26233?2? 所以所求增区间为[2k??,2k??](k?Z) 7
33（2）由a2?b2?6abcosC，sin2C?2sinAsinB，c2?2ab 8分
17. （1）f(x)?3sincos?cos2?1?分
a2?b2?c26abcosC?2ab1??3cosC?1，即cosC? 10分 cosC?2ab2ab2?? 又∵0?C??，C? 11分 ?f(C)?f()?1 12分
33
18． 解析：(Ⅰ)设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6?a)人． 则P(A)?6?a2?．解得 a?2．所以b?4 …………… 4分 205(Ⅱ)设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优
秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．
2C1262则P(B)?1?P(B)?1?2?． …………… 7分
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