期末总复习题一、填空题
1、已知向量a?i?j?2k，b?2i?j?k，则a?b= -1 。 2、曲线z?x绕z轴旋转所得曲面方程为 z=x2 + y2 。 3、级数
2?11??n?的敛散性为 发散 。 ??n3?n?1?222??14、设L是上半圆周x?y?a（y?0），则曲线积分?2ds= 2aLx?y5．交换二重积分的积分次序：
??0?1dy?21?yf(x,y)dx＝
?21dx?01-xf(x,y)dy
6．级数
1的和为 1 。 ?n?1n(n?1)二、选择题
1、平面(x?1)?3y?(z?1)?0和平面(x?2)?(y?1)?2z?0的关系 （ B ） A、重合 B、平行但不重合 C、一般斜交 D、垂直
2. 下列曲面中为母线平行于z轴的柱面的是 （ C ） A、x?2z?1 B、y2?2z2?1 C、x2?2y2?1 D、x2?2y2?z2?1 3. 设D:x?y?4(y?0),则
2222??Dx3ln(x2?y2?1)dxdy?（ A ） 22x?y?1A、2? B、0 C、1 D、4?
4、设D:x2?y2?4(y?0)，则
??dxdy?（ A ）
DA、16? B、4? C、8? D、2?
5、函数z?50?x2?4y2在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A、?2i?16j B、?2i?16j C、2i?16j D、2i?16j
6、微分方程(y??)2?(y?)2?y2?0的阶数为 （ B ） A、1 B、2 C、4 D、6
7．下列表达式中，微分方程y???4y?3y?0的通解为 （ D ） A、y?ex?e3x?C B、y?ex?Ce3x
1 / 51
C、y?Cex?e3x D、y?C1ex?C2e3x 8．limun?0为无穷级数
n?? ?un收敛的 （ B ）
n?1?A、充要条件 B、 必要条件 C、充分条件 D、什么也不是
????????三、已知a?1，b?3，a?b，求a?b与a?b的夹角.P7
解：?a?b ?ab?02 a?b?（a?b）?(1?0?3)?2 a - b?(a?b)2?(1?0?3)?2 (a?b)(a?b)?1?3??2 ?cos??(a?b)(a?b)21??a?b?a-b42 ???120O解：设平面方程为Ax?By?Cz?D?0 依题可得D?0， -2A?B?3C?0 又?n?1，-4，5 ?A-4B?5C?0 故有：47x?13y?z?0一平面垂直于平面x?4y?5z?1?0且过原点和点??2,7,3?，求该平面方程.（参考课本P7例题）
设
z?uev,u?x2?y2,v?xy,求
dz,?z?z,. P19 ?x?y解：由全微分方程的不变性，得?z?zdz?du?dv?u?v?evdu?uevdv ?exyd(x2?y2)?(x2?y2)exyd(xy)?exy(2xdx?2ydy)?(x2?y2)exy(ydx?xdy)?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(x3?2y?xy2)dy进而可得?z?z?exy(2x?x2y?y3)， ?exy(x3?2y?xy2)?2 x/ 52 ?y
求由xyz?sinz所确定的函数z?z?x,y?的偏导数
?z?z, ?x?y解：由xyz?sinz得xyz?sinz?0两边对x求偏导数得：cosz
?zyz解得：??xcosz?xy两边对y求偏导数得：cosz?zxz解得：??ycosz?xy?z?z?yz?xy?0?x?x
?z?z?xz?xy?0?y?y1??求旋转抛物面z?2x2?2y2在点M0??1,,2?处的切平面和法线方程.
2??解：令f(x,y)?2x2?2y2,则：fx?(x,y)?4x,fy?(x,y)?4y所以：n??4x,4y,?1?,nM???4,2,?1?0故曲面在点M0处的切面方程式为：
1?4(x?1)?2(y?)?(z?2)?02即：4x?2y?z?3?0x?1法线方程式为：??4x?12y?1即：??z?24?4y?12?z?22?1
3 / 53
求函数f?x,y??xy?sin(x?2y)在点P?0,0?处沿从点P?0,0?到点Q?1,2?的方向的方向导数。
解：这里的方向?即向量PQ??1，2?的方向，?12?易知PQ上单位向量?0??，??55???又?fx(x,y)?y?cos(x?2y),fy(x,y)?x?2cos(x?2y)?fx(0,0)?1,fy(0,0)?2故?f??12???fx(0,0)??fx(0,0)?5512?2??555xydxdy，其中D是由x轴，y轴与单位圆x2?y2?1在第一象限所围的区
?? (0,0) ?1? 计算二重积分域.
??D解：画出微积分区域D的草图，如图所示，从D的草图可判断D既是X型区域也是Y型区域，把D看成Y型区域，则先对x积分，后对y积分，1此时D可用不等式组表示：?x?y,1?y?2y2yxx1219故??dsdy??dy?1dx??(y?3)dy?1y21y16yyD
计算
?yds，其中L是顶点为A?1,0?，B?0,1?和O?0,0?的三角形边界. （参考P79例2）
L4 / 54
解：AB,OB,OA的方程分别为：y?1?x, 0?x?1,x?0， 0?y?1,y?0, 0?x?1, 则：(x?y)ds?AB??0?x??1?x??1011?(?1)2dx
??2dx?21112(x?y)ds?(x?0)1?0dx?xdx?,?OA?0?021112(x?y)ds?(0?y)0?1dy?ydy?,?OB?0?02故得：?(x?y)ds??(x?y)ds??(x?y)ds??(x?y)ds?2?1LOAABOB求微分方程sinxcosydx?cosxsinydy?0满足初始条件yx?0??4的特解.P167
解：将方程分离变量得：将条件yx?0?带入，sinxsinydx?dy,4cosxcosy2得：C?,sinxsinydx?dy, 两边积分： 2?cosx?cosy故所求方程的特解为：得：?lncosx??lncosy?lnC,22cosy?cosx,或y?arccos(cosx)简化得：cosy?Ccosx22?5 / 55
2017大学一年级高等数学试题及答案
