12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求?BAC所有可能的度数．
【解答】分三种情况讨论． （i）若△ABC为锐角三角形． 因为?BHC?180???A，?BOC?2?A，
所以由?BHC??BOC，可得180???A?2?A，于是?A?60?．
（第12题答题（i））
（ii）若△ABC为钝角三角形．
（第12题答题（ii））
当?A?90?时，因为?BHC?180???A，?BOC?2?180???A?，
所以由?BHC??BOC?180?，可得3?180???A??180?，于是?A?120?。
当?A?90?时，不妨假设?B?90?，因为?BHC??A，?BOC?2?A，
所以由?BHC??BOC?180?，可得3?A?180?，于是?A?60?．
（iii）若△ABC为直角三角形．
当?A?90?时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆， 所以?A不可能等于90?；
当?A?90?时，不妨假设?B?90?，此时点B与H重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此?A可以是满足0???A?90?的所有角．
综上可得，?A所有可能取到的度数为所有锐角及120?．
13．设a，b，c是素数，记x?b?c?a，y?c?a?b，z?a?b?c，当z2?y,x?y?2时，
a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
【解答】不能．
111(y?z)，b?(x?z)，c?(x?y)． 222112z(z?1)2因为y?z，所以a?(y?z)?(z?z)?．
222又由于z为整数，a为素数，所以z?2或?3，a?3．
依题意，得a?
当z?2时，y?z2?4，x?(y?2)2?16．进而，b?9，c?10，与b，c是素数矛盾；
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当z??3时，a?b?c?0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．
14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．
【解答】若n≤6，取m?1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，…，an中的一个正整数M是i，j(1≤i＜j≤7)的公共的魔术数，即7|(10M?i)，7|(10M?j)．则有7|(j?i)，但0＜
j?i≤6，矛盾．
故n≥7．
又当a1，a2，…，an为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为正整数）．则10i?mk2，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，j(1≤i＜j≤7)，满足（i?1，k7|[(10j?m)?(10i?m)]，即7|10(j?i)，从而7|(j?i)，矛盾．
kk故必存在一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10i?m)，即i为m的魔术数． 所以，n的最小值为7．
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2013年全国初中数学竞赛试题及答案
