2013年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
??a＋2b+3c＝0ab+bc+ca
1．设非零实数a，b，c，满足?则222的值为（ ）
a+b+c??2a＋3b+4c＝0
11
（A）— （B）0 （C） （D）1
22
2．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的11
一元二次方程中，以2，2为两个实根的是（ ）
x1 x2
（A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） ．．． （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC
4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）8
3x3y+3x2y2+xy3+455．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：x?y=，
(x+1)3+(y+1)3—60 且x?y?z=（x?y）?z，则2013?2012?…?3?2的值为（ ）
6071821546316389 （A） （B） （C） （D）
967 967 967 967
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．设a=33，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________．
7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________．
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8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc的最大值为__________．
9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为___________________________________．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共
350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠
A A 笔．
A C D E E O D
（第3题)
B B C （第4题)
F B E D C （第7题)
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，
1
直线y=—x2+1与y轴交于点D，求∠DBC－∠CBE．
3
C E A D x O B y 12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能
的度数．
13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z2=y，x－y=2时，a，b，c能否构
成三角形的三边长？证明你的结论．
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14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，
把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．【答案】A
【解答】由已知得a?b?c?(2a?3b?4c)?(a?2b?3c)?，0故(a?b?c)?0．于是
21ab?bc?ca1． ab?bc?ca??(a2?b2?c2)，所以2??222a?b?c22．【答案】B
【解答】由于ax?bx?c?0是关于x的一元二次方程，则a?0．因为x1?x2??2bc，x1x2?，aa11(x1?x2)2?2x1x2b2?2ac11a2且x1x2?0，所以c?0，且 2?2?，2?2?2， ?222x1x2x1x2cx1x2c11b2?2aca22x??0，于是根据方程根与系数的关系，以2，2为两个实根的一元二次方程是x?c2cx1x2即cx?(b?2ac)x?a?0．
3．【答案】D
【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝
2222AD?BD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数． 23题）（第（第3题答题）
OD2DC·DO由Rt△DOE∽Rt△COD，知OE?，DE?都是有
OCOC理数，而AC＝AD·AB不一定是有理数．
4．【答案】C
【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC． 连接CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．
连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF．
因为BC?4CF，所以S△ABC = 4S△ACF．故阴影部分的面积为6．
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（第题） （第44题答题）
5．【答案】C
【解答】设2013?2012??4?m，则
?2013?2012?3m3?3?3m2?9?m?27?45?9， ?4??3?m?3?m3?3m2?3m?1?64?603?93?2?3?92?22?9?23?455463?． ?3??2?9?2?3310?3?60967于是?2013?2012?
二、填空题
6．【答案】9
2 【解答】由于1?a?2?a?3，故b?a?2?239?2，因此(b?2)3?(39)3?9．
7．【答案】
204 13S?AEF?4S?AEF?S?BFEBFS?BCF5=???，
S?AFDS?AFDFDS?CDF3S?AFD?3S?AFD?S?CDFCFS?BCF5????，
S?AEFS?AEFFES?BEF4 【解答】如图，连接AF，则有：
10896，S?AFD?． 1313204所以，四边形AEFD的面积是．
13解得S?AEF?8．【答案】2013
【解答】由已知a?b?2c?2?0，3a?8b?c?0消去c，并整理得
22
（第7题答题）
?b?8?2?6a2?a?66．由a为正整数及6a2?a≤66，可得1≤a≤3．
2若a?1，则?b?8??59，无正整数解； 若a?2，则?b?8??40，无正整数解；
若a?3，则?b?8??9，于是可解得b?11，b?5． （i）若b?11，则c?61，从而可得abc?3?11?61?2013； （ii）若b?5，则c?13，从而可得abc?3?5?13?195． 综上知abc的最大值为2013．
22，?2，，1?2)，(t，，0?t，0)（t为任意实数） 9． 【答案】(1第 4 页 共 7 页
?a?b??c，??ab?d，【解答】由韦达定理得?
c?d??a，??cd?b．?由上式，可知b??a?c?d． 若b?d?0，则a?db?1，c??1，进而b?d??a?c??2． bd若b?d?0，则c??a，有(a，，，． bcd)?(t，，0?t，0)（t为任意实数）经检验，数组(1，?2，，1?2)与(t，，0?t，0)（t为任意实数）满足条件． 10．【答案】207
【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则??4x?7y?2013，
x?y?350，?2013?7yy?1， ?(503?2y)?44y?1于是是整数．又2013?4(x?y)?3y?4?350?3y，
4所以x?所以y?204，故y的最小值为207，此时x?141．
三、解答题
11．如图，抛物线y?ax?bx?3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线y??求∠DBC?∠CBE．
【解答】将x?0分别代入y??1)，C(0，?3)，
所以B(3，0)，A(?1，0)．直线y??21x?1与y轴交于点D． 31x?1，y?ax2?bx?3知，D(0，31x?1过点B． 3（第11题）
将点C(0，?3)的坐标代入y?a(x?1)(x?3)，得a?1．
抛物线y?x?2x?3的顶点为E(1，?4)．于是由勾股定理得
BC＝32，CE＝2，BE＝25．
因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，?BCE?90?．
（第11题答题）
2
OD1CE1=．又tan∠DBO= ?，则∠DBO＝?CBE．
OB3CB3所以，?DBC??CBE??DBC??DBO??OBC?45?．
因此tan?CBE=
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2013年全国初中数学竞赛试题及答案
