3.2.2 函数模型的应用实例
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能
自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
知识点一 几类已知函数模型
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题．
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) kf(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) xf(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( × ) 2．用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点．( × ) 3．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( × )
4．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( × )
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程． 考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
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解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝ (h)，所以0≤t≤.
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因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t1110
0≤t≤?.2 h内火车行驶的路程S＝13＋120×?2－?＝之间的关系是S＝13＋120t?5???60?233(km)．
反思与感悟 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用 答案 26
解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2(a≠0)，则－2＝a·22，∴a11
＝－，∴y＝－x2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，－3)，将B点的坐标代
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入到y＝－x2中，得b＝±6，因此水面宽26米．
2
类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
例2 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式； (2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值． 考点 函数模型的综合应用 题点 函数模型中的最值问题 解 (1)设AM＝y，AD＝x，
高中数学同步讲义必修一 - 第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
