3.2.2 函数模型的应用实例
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能
自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤,并了解检验和调整的必要性.
知识点一 几类已知函数模型
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤
(1)审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;
(3)求模——求解数学模型,得出数学模型; (4)还原——将数学结论还原为实际问题.
函数解析式 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) kf(x)=+b(k,b为常数且k≠0) xf(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( × ) 2.用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点.( × ) 3.函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义.( × )
4.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.( × )
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄,全程277 km.火车出发10 min开出13 km后,以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系,并求火车离开北京2 h内行驶的路程. 考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
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解 因为火车匀速运动的时间为(277-13)÷120 = (h),所以0≤t≤.
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因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km,所以,火车运行总路程S与匀速行驶时间t1110
0≤t≤?.2 h内火车行驶的路程S=13+120×?2-?=之间的关系是S=13+120t?5???60?233(km).
反思与感悟 在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型,这时可借助待定系数法求出函数解析式,再根据解题需要研究函数性质.
跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.则水位下降1米后,水面宽________米.
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用 答案 26
解析 以拱顶为原点,过原点与水面平行的直线为x轴,建立平面直角坐标系(如图),则水面和拱桥交点A(2,-2),设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2(a≠0),则-2=a·22,∴a11
=-,∴y=-x2.当水面下降1米时,水面和拱桥的交点记作B(b,-3),将B点的坐标代
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入到y=-x2中,得b=±6,因此水面宽26米.
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类型二 自建确定性函数模型解决实际问题
例2 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边形的休闲花园,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域,且计划在正方形MNPK上建一座花坛,其造价为4 200元/米2,在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面,其造价为210元/米2,并在四个三角形空地上铺草坪,其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米,试写出总造价Q(单位:元)关于x的函数解析式; (2)问:当x取何值时,总造价最少?求出这个最小值. 考点 函数模型的综合应用 题点 函数模型中的最值问题 解 (1)设AM=y,AD=x,