2012年考研数学三真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线渐近线的条数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。 【解析】 由,
得是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由得是曲线的一条垂直渐近线； 由得不是曲线的渐近线； 综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
(2)设函数,其中为正整数，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 【方法1】 令,则
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故应选A. 【方法2】 由于,由导数定义知 . 【方法3】 排除法，令,则
则(B)(C)(D)均不正确
综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3)设函数连续，则二次积分 (A) (B) (C)
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(D) 【答案】B。 【解析】
令,则所对应的直角坐标方程为,所对应的直角坐标方程为。 由的积分区域
得在直角坐标下的表示为 所以
综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】
由级数绝对收敛，且当时，故,即 由级数条件收敛，知
综上所述，本题正确答案是(D)
【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定 (5)设,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为
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(A) (B) (C) (D) 【答案】C。 【解析】 个维向量相关 显然 所以必线性相关
综上所述，本题正确答案是(C)。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关 (6)设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若,则 (A) (B) (C) (D) 【答案】B。
【解析】由于经列变换(把第2列加至第1列)为，有 那么
=
综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换 (7)设随机变量相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则 (A) (B) (C) (D)
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【答案】D。 【解析】 而
即是在正方形上等于常数1，其余地方均为0， 实际上就是单位圆1在第一象限的面积。 综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布
(8)设为来自总体的简单随机样本，则统计量的分布为
(A) (B) (C) (D) 【答案】B。 【解析】 1，，故； 2，，故，,
3，与相互独立。与也相互独立， 所以
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念 二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）
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(9) 。
【答案】。
【解析】这是一个‘’型极限，由于 所以
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (10)设函数,则 。 【答案】 【解析】
可看做,与的复合，当时
由复合函数求导法则知
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (11)设连续函数满足,则
。 【答案】 【解析】
由，且连续，可得,且 ,
由可微的定义得 ,即
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【考点】高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念
与计算
(12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为 。 【答案】 【解析】
曲线和直线及在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为
y ??=4?? ??=?? ??=?? O 1 2 ?? 4【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
(13)设为3阶矩阵，为的伴随矩阵。若交换的第1行与第2行得到矩阵，则 。 【答案】-27 【解析】 【方法1】
两行互换两列互换变成，所以,再由行列式乘法公式及，则
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【方法2】根据题意 ，即 那么 从而
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质 线性代数—矩阵—伴随矩阵，矩阵的初等变换 (14)设是随机事件，互不相容，则 。 【答案】 【解析】
互不相容，自然有,当然更有，所以
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性
三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)求极限 【解析】 【方法1】
(等价无穷小代换) (洛必达法则)
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【方法2】
(等价无穷小代换) (泰勒公式) 【方法3】
(拉格朗日中值定理)
(洛必达法则) ()
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较，极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达
(L'Hospital)法则
(16)计算二重积分其中是以曲线及轴为边界的无界区域。 【解析】
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【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元
积分法与分部积分法
高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和
计算
(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是(件)和（件），且这两种产品的边际成本分别为(万元/件)与(万元/件). (I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数(万元)；
(II)当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；
(III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义。 【解析】
(I)总成本函数 （万元）
(II)由题意知，求在时的最小值，构造拉格朗日函数
解方程组 得.
因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投入总费用 (万元)
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(III)甲产品的边际成本函数：,于是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本
其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，若甲的产量每增加一件，则总成本增加32万元。 (18)证明： 【解析】 【方法1】 记,则
当时，由于,所以,从而单调增加。
又因为，所以，当时，; 当时，，于是是函数在内的最小值。 从而当时， 即 【方法2】 记,
显然，是偶函数，因此只要证明 由于 从而有， 有
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则当时， 即
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值 (19)已知函数满足方程及 (I)求的表达式； (II)求曲线的拐点。 【解析】 (I)联立 得,因此
代入，得,所以 (II)
当时，; 当时，,又,所以曲线的拐点为
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (20)设,.
(I)计算行列式；
(II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。
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【解析】 (I)按第一列展开 ,
(II)当时，方程组有无穷多解，由上可知或 如果
方程组无解，舍去 当时，
，方程组有无穷多解，取为自由变量，得方程组通解为 为任意常数
【考点】线性代数—线性方程组—线性方程组有解和无解的判定，非齐次线性方程组的通解 (21)已知,二次型的秩为2 (I)求实数的值；
(II)求正交变换将化为标准形。 【解析】
(I)因为,对做初等行变换 ,
所以，当时，
(II)由于，所以，矩阵的特征多项式为
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，
于是的特征值为
当时，由方程组,可得到属于的一个单位特征向量； 当时，由方程组,可得到属于的一个单位特征向量； 当时，由方程组,可得到属于的一个单位特征向量。 令,
则在正交变换下的标准形为
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质
线性代数—二次型—二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形
(22)设二维离散型随机变量的概率分布为
0 1 2 (I)求； (II)求. 【解析】 (I)
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0 0 1 2 0 (II)由的概率分布可得 所以 所以
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质
(23)设随机变量相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记. (I)求的概率密度； (II)求. 【解析】 (I)
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当时，，
(II)
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布 概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质
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2012考研数学三真题与答案
