第五章 定积分及其应用
习 题 5-1
1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）
?1?1?1xdx, （2）??RRR2?x2dx, （3）?20cosxdx, （4）??xdx.
1解：若x??a,b?时,f(x)?0,则?baf(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)，直线
x?a,x?b及x轴所围成平面图形的面积. 若x??a,b?时，f(x)?0,则?bf(x)dx在几何
a上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，??1xdx?(?A1)?A1?0.
1y 1 -1 A 1 A 1 y R 1 O- 1 ( 1 )
x A 2 ?R O R ( 2 )
x y 1 A 3 A 5 π OA 4 2 π x - 1 ( 3 )
A6?1 y 1 A6O 1 x (4)
?1 （2）由上图（2）所示，?R?RπR2R?xdx?A2?.
2222π（3）由上图（3）所示，?0cosxdx?A3?(?A4)?A5?A3?A5?(?A3?A5)?0.
（4）由上图（4）所示，??1xdx?2A6?2?11?1?1?1. 22. 设物体以速度v?2t?1作直线运动，用定积分表示时间t从0到5该物体移动的路程S.
1 / 21
解：s??50(2t?1)dt
3. 用定积分的定义计算定积分
?cdx,其中c为一定常数.
ab解：任取分点a?x0?x1?x2???xn?b,把[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi]
(i?1,2?n)，小区间长度记为?xi=xi-xi?1(i?1,2?n),在每个小区间?xi?1,xi?
上任取一点?i作乘积f(?i)??xi的和式：
n?f(?)??x??c?(xiii?1i?1nni?xi?1)?c(b?a),
记??max{?xi}, 则
1?i?n?bacdx?lim?f(?i)??xi?limc(b?a)?c(b?a).
??0i???04. 利用定积分定义计算
2?10x2dx.
解：f(x)?x在[0,1]上连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对?0,1? n等分，分点xi?
i,i?1,2,?,n?1;?i取相应小区间的右端点，故 n?i?1ni11f(?i)?xi???i2?xi??xi2?xi=?()?3nnni?1i?1i?1nnn2?ii?1n2
11111 =?n(n?1)(2n?1)(1?)(2?) 3n66nn112当??0时（即n??时），由定积分的定义得： ?xdx=．
03 =
5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
43?1?1(4x4?2x3?5)dx的值.
解：先求f(x)?4x?2x?5在??1,1?上的最值，由
f?(x)?16x?6x?0, 得x?0或x?比较 f(?1)?11,f(0)?5,323. 835093f()?,81024fmin?5093,1024f(1)?7的大小，知
fmax?11，
1?1
由定积分的估值公式，得fmin?[1?(?1)]?即
?(4x4?2x3?5)dx?fmax??1?(?1)?,
15093??(4x4?2x3?5)dx?22. ?15126. 利用定积分的性质说明
? 1 0edx与?edx，哪个积分值较大？
0x 1x22 / 21
解：在?0,1?区间内：x?x?e?e 由性质定理知道：
2xx2x? 0edx?? 0edx
1x 127. 证明：2e?121???212e?xdx?2。
2证明：考虑????12,1??x2?x2?上的函数，则，令y??0得x?0 y?ey??2xe?2?当x?????1??1?,0?时，y??0，当x??0,?时，y??0 2?2???x2∴y?e1?x2在x?0处取最大值y?1，且y?e121?2121?212在x??121122处取最小值e?12.
故
??212edx???e?xdx??21dx，即2e????212e?xdx?2。
8. 求函数f(x)?1?x2在闭区间[-1，1]上的平均值.
111π?12π21?xdx??? 解：平均值??1?(?1)??12249. 设f(x)在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何a?(0,1)有证明：
?1aa0f(x)dx?a?f(x)dx.
01?a 0f(x)dx?a?f(x)dx=?f(x)dx?a?f(x)dx?a?f(x)dx
0 0 01aa ?(1?a)?a0f(x)dx?a?f(x)dx=(1?a)af(?)?(1?a)af(?)
a1 ?(1?a)a[f(?)?f(?)]，其中 0???a,a???1
又f(x)单调减，则f(?)?f(?)，故原式得证.
习 题 5.2
1. 计算下列定积分 （1）
?402?xdx; （2）?x2|x|dx; （3）?|sinx|dx; (4) ?max{x,1?x}dx.
?20012π1解：（1）
?40112?xdx??(2?x)dx??(x?2)dx?(2x?x2)?(x2?2x)?4
0222022424x4233（2）?x|x|dx=?(?x)dx+?xdx=??2?2041010?2x4117?=4+?. 404413 / 21
（3）
?102π0|sinx|dx=
?π0sinxdx+
?2ππ(?sinx)dx=(?cosx)0?cosxπ2ππ=2+2=4.
(4)
?max{x,1?x}dx=?(1?x)dx??1xdx?.
21201342. 计算下列各题： （1）
?10x100dx， （2）?41xxdx， （3）?exdx, （4）?10100dx,
10（5）?sinxdx, （6）?xedx, （7）?sin(2x?π)dx, （8）
π20110x2π20?0x(1?x)dx,（9）?11e11tanxlnxdx4dx , （11）dx, （10）?2?200cosx2x100?x34π42x1011100?解：（1）?xdx=. （2）?xdx=x20131010101?114. 31100x991x1xx1?（3）?0edx?e0?e?1. （4）?0100dx=.
ln1000ln100（5）?sinxdx??cosxπ20π20π20x?1. （6）?1xedx?0211xe?0ed(x2)?222x21?0e?1. 2（7）?sin(2x?π)dx=
11?cos(2x?π)=?1. sin(2x?π)d(2x?π)=22?0eπ20π2 (8)
?e111lnx1edx=?lnxd(lnx)=ln2x?. 2x21441111dx1xdx11(10) ?===. arctanarctan0100?x2x210100?010100101?()101（10）
?π40tanx(tanx)dxtanxd(tanx)==?cos2x2π40π24=
01. 23. 求下列极限
1?cosπxx?10解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得
0x?1x???2?（1） limx1sinπtdt?arctant??. （2）lim0x2dt. 4 / 21
lim?xx1sinπtdt=limx?1(?sinπtdt)?1xx?11?cosπx2(1?cosπx)?=limsinπx11?lim()??
x?1?πsinπxx?1?ππx2?1?arctanx?x2（2）lim?0?arctant?x?12dt?型?x???x???lim?arctanx?21?12x?1?22x?2?limx???
x1??lim4. 设y?x???1arctanx2?2?1?22x ?lim1?2?arctanx??x???x4x?x0(t?1)dt，求y的极小值
解： 当y??x?1?0，得驻点x?1，y''?1?0.x?1为极小值点， 极小值y(1)?1 (x?1)dx?- ?021?x?1,x?12?5. 设f?x???12，求?f?x?dx。
0x,x?1??2解：
?f?x?dx???x?1?dx??0021211812?1?xdx??x2?x??x3? 2?2?061312?1x?sinx,0?x??6. 设f?x???2，求??x???f?t?dt。
0?其它?0,解：当x?0时，
??x???f?t?dt??0dt?0
00xx当0?x??时，??x??x11?cosx sintdt??022x?x当x??时，??x???f?t?dt??f?t?dt??f?t?dt??00?0?x1sintdt??0dt?1，
?2x?0?0,?1?故??x????1?cosx?,0?x??
?2x????1,7. 设f?x?是连续函数，且f?x??x?2解：令即A??f?t?dt，求f?x?。
011001?10f?t?dt?A，则f?x??x?2A，从而?f?x?dx???x?2A?dx?1?2A 211?2A，A??，∴f?x??x?1 225 / 21
大学高等数学定积分及其应用答案
