平行四边形的性质
(第1课时) (30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2017·贵阳中考)如图,在?ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接CE,若△CED的周长为6,则?ABCD的周长为 ( )
A.6
B.12
C.18
D.24
【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,AD=BC, ∵AC的垂直平分线交AD于点E,∴AE=CE, △CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6, ∴?ABCD的周长=2×6=12.
2.如图,E,F分别是?ABCD的边AD,BC上的点,EF=6,∠DEF=60°,将四边形EFCD沿EF翻折,得到EFC'D',ED'交BC于点G,则△GEF的周长为 ( )
导学号42684223
A.6
B.12
C.18
D.24
【解析】选C.因为∠DEF=60°,由翻折可知∠FEG=60°,则∠AEG=60°,根据两直线平行内错角相等,得∠EGF=∠EFG=60°,所以△EFG是等边三角形,故其周长为18.
3.平面直角坐标系中,已知?ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点D的坐标是 ( ) A.(-2,1)
B.(-2,-1)
C.(-1,-2)
D.(-1,2)
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【解析】选A.∵A(m,n),C(-m,-n), ∴点A和点C关于原点对称, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴D和B关于原点对称, ∵B(2,-1),
∴点D的坐标是(-2,1).
【变式训练】(2017·房山区期中)若?ABCO
的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点B的坐标是 ( )
A.(3,7) C.(7,3)
B.(5,3) D.(8,2)
【解析】选C.∵点O,A,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),∴B点的纵坐标是3,横坐标为5+2=7,∴B点的坐标为(7,3).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2017·绵阳中考)如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是__________________.
【解析】∵四边形ABCO是平行四边形,O为坐标原点,点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4), ∴BC=OA=6,6+1=7, ∴点B的坐标是(7,4). 答案:(7,4)
【变式训练】(2016·深圳中考)如图,在
?ABCD中,AB=3,BC=5,以点B为圆心,以任意长为半径作弧,分别交BA,BC于点P,Q,再分别以P,Q为圆心,以
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大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M,连接BM并延长交AD于点E,则DE的长为________.
【解析】根据作图的方法得:BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE.
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC=5, ∴∠AEB=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB,
∴AE=AB=3,∴DE=AD-AE=5-3=2. 答案:2
5.(2017·西宁中考)如图,将?ABCD沿EF对折,使点A落在点C处,若∠ ,AD=4,AB=6,则AE的长为______.
导学号42684224
【解析】作CH⊥AB于点H,则BH=2,CH=2
,则AH=8,设AE=CE=a,则EH=8-a,在Rt△CEH中,CH+EH=CE,
2
2
2
∴(2
)+(8-a)= a,
2
2
2
解得a=,即AE=.
答案:
【方法技巧】由平行四边形一个内角求其他三个内角的“方法”
先用“两直线平行,同旁内角互补”的性质先求已知角的两个邻角,再用“平行四边形的对角相等”的性质
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求已知角的对角.
6.(2017·成都中考)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,
任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD的周长为________.
【解析】由作图可知,AQ是∠DAB的平分线, ∴∠DAQ=∠BAQ,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD. ∴∠DQA=∠BAQ,∴∠DAQ=∠DQA, ∴△ADQ是等腰三角形,∴DQ=AD=BC=3,
∵DQ=2QC,∴QC=,
∴DC=DQ+QC=3+=,
∴平行四边形ABCD的周长=2(BC+DC)=15. 答案:15
三、解答题(共26分)
7.(8分)(2017·湘潭中考)如图,在?ABCD中,DE=CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
导学号42684225
(1)求证:△ADE≌△FCE.
(2)若AB=2BC,∠F=36°.求∠B的度数.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
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∴AD∥BC,AD=BC, ∴∠D=∠ECF,
在△ADE和△FCE中,∴△ADE≌△FCE(ASA). (2)∵△ADE≌△FCE, ∴AD=FC, ∵AD=BC,AB=2BC, ∴AB=FB,
∴∠BAF=∠F=36°,
∴∠B=180°-2×36°=108°.
8.(8分)如图,在?ABCD中,分别延长BA,DC到点E,H,使得AE=AB,CH=CD,连接EH,分别交AD,BC于点F,G. 求证:△AEF≌△CHG.
【证明】∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠DCG, ∴∠E=∠H,∠EAD=∠HCB. ∵AE=AB,HC=CD,∴AE=CH, ∴△AEF≌△CHG(ASA). 【培优训练】
9.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F.
导学号42684226
(1)求证:△ABE≌△DFE.
(2)连接CE,当CE平分∠BCD时,求证:DE=DF.
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