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专题8.9 圆锥曲线的最值、范围、证明问题-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

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第八篇 平面解析几何

专题8.09 圆锥曲线的最值、范围、证明问题

【考试要求】

1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法; 2.了解圆锥曲线的简单应用; 3.理解数形结合的思想. 【知识梳理】

1.求定值问题常见的方法有两种:

(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题

(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.

(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法

求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围,要特别注意变量的取值范围.

4.圆锥曲线中常见最值的解题方法

(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;

(2)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 5.圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=1+k2|x1-x2|

=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2 =

11+2·|y-y|=k12

11+2·(y1+y2)2-4y1y2. k

【微点提醒】

1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用)

(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切; (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用)

(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点,两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;

(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;

(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点,一条与对称轴平行或重合的直线. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是:直线l与抛物线C只有一个公共点.( )

(4)如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB|=1+t2|y1-y2|.( ) 【★答案★】 (1)√ (2)× (3)× (4)√

【解析】 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点,是相交,但并不相切. (3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点,是相交,但不相切. 【教材衍化】

2.(选修2-1P71例6改编)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( ) A.1条 【★答案★】 C

【解析】 结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条;直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).

3.(选修2-1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦|AB|=________. 【★答案★】 16

【解析】 法一 直线l的方程为y=3x+1,

B.2条

C.3条

D.4条

?y=3x+1,2由?2得y-14y+1=0. ?x=4y,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=14, ∴|AB|=y1+y2+p=14+2=16.

法二 如图所示,过F作AD的垂线,垂足为H,则|AF|=|AD|=p+|AF|sin 60°,即|AF|=2

.

1-sin 60°同理,|BF|=

2

,故|AB|=|AF|+|BF|=16.

1+sin 60°

p

1-sin 60°

【真题体验】

4.(2019·浙江八校联考)抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A,B两点,且这两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则( ) A.x3=x1+x2 C.x1+x2+x3=0 【★答案★】 B

2??y=ax,kbb【解析】 由?消去y得ax2-kx-b=0,可知x1+x2=,x1x2=-,令kx+b=0得x3=-,所

aak?y=kx+b,?

B.x1x2=x1x3+x2x3 D.x1x2+x2x3+x3x1=0

以x1x2=x1x3+x2x3.

x2y2

5.(2019·唐山市五校联考)直线l与双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若

abl与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为( ) A.3

【★答案★】 D

2x2y11

-=1,a2b2

【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),把A,B两点坐标分别代入双曲线的方程,得22

x2y2

-=1,a2b2

B.2 C.3 D.2

???

(x1+x2)(x1-x2)(y1+y2)(y1-y2)

两式相减得-=0,

a2b2

专题8.9 圆锥曲线的最值、范围、证明问题-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第八篇平面解析几何专题8.09圆锥曲线的最值、范围、证明问题【考试要求】1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法;2.了解圆锥曲线的简单应用;3.理解数形结合的思想.【知识梳理】1.求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理
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