第八篇 平面解析几何
专题8.09 圆锥曲线的最值、范围、证明问题
【考试要求】
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法； 2.了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想. 【知识梳理】
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
4.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 5.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2 ＝
11＋2·|y－y|＝k12
11＋2·（y1＋y2）2－4y1y2. k
【微点提醒】
1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用)
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用)
(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( )
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.( ) 【★答案★】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
【解析】 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切. (3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 【教材衍化】
2.(选修2－1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 【★答案★】 C
【解析】 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).
3.(选修2－1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________. 【★答案★】 16
【解析】 法一 直线l的方程为y＝3x＋1，
B.2条
C.3条
D.4条
?y＝3x＋1，2由?2得y－14y＋1＝0. ?x＝4y，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
法二 如图所示，过F作AD的垂线，垂足为H，则|AF|＝|AD|＝p＋|AF|sin 60°，即|AF|＝2
.
1－sin 60°同理，|BF|＝
2
，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝16.
1＋sin 60°
p
＝
1－sin 60°
【真题体验】
4.(2024·浙江八校联考)抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则( ) A.x3＝x1＋x2 C.x1＋x2＋x3＝0 【★答案★】 B
2??y＝ax，kbb【解析】 由?消去y得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0得x3＝－，所
aak?y＝kx＋b，?
B.x1x2＝x1x3＋x2x3 D.x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
以x1x2＝x1x3＋x2x3.
x2y2
5.(2024·唐山市五校联考)直线l与双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若
abl与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( ) A.3
【★答案★】 D
2x2y11
－＝1，a2b2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得22
x2y2
－＝1，a2b2
B.2 C.3 D.2
???
（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）
两式相减得－＝0，
a2b2
专题8.9 圆锥曲线的最值、范围、证明问题-2024届高考数学一轮复习学霸提分秘籍
