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4. 设?是曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的区域积分，则
2?12?r2r???f(x,y,z)dv化为柱面
?坐标系下的三次积分形式是 5. 设L是圆周y?
?0d??rdr?0f(rcos?,rsin?,z)dz ．
L2x?x2，取正向，则曲线积分??ydx?xdy?
2??．
(?1)n?1xn 6. 幂级数?的收敛半径
nn?17．设级数
R?10．
．
un??un收敛，则nlim??n?1??0,???x?08．设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)?? 则它的傅
?x,0?x??, 里叶级数在x??处收敛于
?2．
9．全微分方程xdx?ydy?0的通解为 xy?C．
x10．写出微分方程y???y??2y?e的特解的形式y*?axex．
二、解答题（共42分 每小题６分）
?x?y?z?2?01．求过点(1,2,1)且垂直于直线?的平面方程．
?x?2y?z?3?0???ijk??解：设所求平面的法向量为n，则n?1?21??1,2,3? (4分)
11?1所求平面方程为 x?2y?3z?0 (2分) 2．函数z?z(x,y)由方程sin(x?2y?3z)?x?2y?3z所确定，求
?z． ?x解：令F(x,y,z)?sin(x?2y?3z)?x?2y?3z， (2分)
则Fx?cos(x?2y?3z)?1, Fz??3cos(x?2y?3z)?3． (2分)
F?z1?cos(x?2y?3z) ． (2分) ??x??xFz3?3cos(x?2y?3z)学 海 无 涯
3．计算
??xyd?，其中D是由直线y?1, x?2及y?x所围成的闭区域．
D 解法一： 原式?2?1[?1xydy]dx (2分)
2x2x3y2xx??[x?]1dx??(?)dx 11222x4x221?[?]1?1. (4分)
8484y122 解法二： 原式?[xydx]dy?[y?]1?1.(同上类似分)
1y88??224．计算
??D1?x2?y2dxdy，其中D是由x2?y2?1即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区
域．
解： 选极坐标系
?原式??20d??011?r2rdr (3分)
11?22 ??(?)?1?rd(1?r)? (3分)
22065．计算
???(y2?z2)dx?2yzdy?x2dz，其中?是曲线x?t,y?t2,
z?t3上由t1?0到t2?1的一段弧．
解：原式??01[(t4?t6)?2t5?2t?t2?3t2]dt (3分)
64372511??(3t?2t)dt?[t?t]0? (3分)
0753512n?16．判断级数?的敛散性． nn?12解： 因为 lim?un?1(2n?1)2n?1 (3分) ?limnn??un??2n?12n?1?1， (2分) 2 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程y???3y??4y?0满足初始条件yx?0?0,y?x?0??5的特解．
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解：特征方程 r?3r?4?0，特征根 r1?4, 通解为 y?C1e y??4C1e 所以特解
4x4x2r2??1
?C2e?x， (3分)
?C2e?x，代入初始条件得 C1??1,C2?1，
(3分)
y??e4x?e?x．
22三、（8分）计算曲面积分??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是上半球面z?1?x?y的上侧．
?解：添加辅助曲面?221:z?0,x?y?1，取下侧，则在由?1和?所围成的 空间闭区域?上应用高斯公式得
??xdydz?ydzdx?zdxdy?xdydz?ydzdx?zdxdy ??????1 ???xdydz?ydzdx?zdxdy (4分)
?1 ?3???dv?0 (2分)
? ?3?14?2?3?2?． (2分)
四、（8分）设曲线积分?2Lyf(x)dx?[2xf(x)?x]dy在右半平面(x?0)内
与路径无关，其中f(x)可导，且满足f(1)?1，求f(x)． 解：由
?P?y??Q?x， 得f(x)?2f(x)?2xf?(x)?2x， 即f?(x)?12xf(x)?1， (3分) f(x)?e? 所以
?12xdx(?e?12xdxdx?C)
?x?112(?x2dx?C)?x?12(233x2?C)， (3分)
代入初始条件，解得C?13，所以f(x)?23x?13x． (2分)
五、（6分）求函数f(x,y)?x3?y3?3xy的极值．
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2?f(x,y)?3x?3y?0?x解：? 2??fy(x,y)?3y?3x?0得驻点 (0,0),(1,1) (3分)
fxx(x,y)?6x, fxy(x,y)??3, fyy(x,y)?6y
2在点(0,0)处，B?AC?9?0, 故f(0,0)非极值；
2在点(1,1)处，B?AC??27?0, 故f(1,1)??1是极小值． (3分)
六、（6分）试证：曲面z?xf()上任一点处的切平面都过原点．
?zy1y?zyyy???证：因 ?xf()??f() (3分) ?f()?f(),
?yxxx?xxxxyxy0则取任意点M0(x0,y0,z0)，有z0?x0f()，得切平面方程为
x0z0?x0f(y0yyyy)?[f(0)?0f?(0)](x?x0)?f?(0)(y?y0) x0x0x0x0x0y0y0y0y0f?()]x?f?()y?z?0 即 [f()?x0x0x0x0故切平面过原点． (3分)
07A
一、 填空题（每小题3分，共21分）
????1．设向量a?{2,3,1},b?{?,?1,5}，已知a与b垂直，则?????????2．设a?3,b?2,(a,b)?，则a?b?3?1
?6
y2z23．yoz坐标面上的曲线2?2?1绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为
ab
x2?y2z2?2?12ab
?x?2z?1?04．过点(2,4,0)且与直线?垂直的平面方程2x?3y?z?8?0
?y?3z?2?05．二元函数z?xln(x?y)的定义域为D?{(x,yx?0,x?y?0}
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6．函数7．设z8．设uf(x,y,z)?ln(x2?y2?z2)，则gradf(1,0,1)??exy，则dz?{1,0,1}
exy(ydx?xdy)
?9．曲线x?t,y?t,z?t上点(1,1,1)处的切向量T?23y?u?xf(x,)，f具有连续偏导数，则?x?xf?xf1?yf2x
{1,2,3}10．交换积分顺序：?0dy?011．闭区域?由曲面z21yf(x,y)dx??0dx?xf(x,y)dy?11?x2?y2及平面z?1所围成，将三重积分???f(x,y,z)dv化为柱面
坐标系下的三次积分为12．设L为下半圆周y?d??rdr?f(rcos?,rsin?,z)dz00r2?11
??1?x22，则?L(x2?y2)ds??13．设L为取正向圆周x?y2?9，则?L(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy??18?
?0f(x)???x???x?00?x??则它的傅里叶级数在
14．设周期函数在一个周期内的表达式为
x??处收敛于
15．若limunn???2?n?1
?0，则级数?un的敛散性是 发散
2nn!16．级数?n的敛散性是 收敛
n?1n?17．设一般项级数?un，已知?n?1n?1??un收敛，则?un的敛散性是 绝对收敛
n?1?18．微分方程xy???2(y?)3?5xy?0是 2 阶微分方程
?0的通解y?19．微分方程y???4y??4y20．微分方程y???3y??2y二、（共5分）
C1e?2x?C2xe?2x
?xe2x的特解形式为x(ax?b)e2xx?z?z设z?ulnv,u?,v?xy，求,
y?x?y2?z?z?u?z?v1u2x2?????2ulnv???y?2[2ln(xy)?1] 解：
?x?u?x?v?xyvy
(2024年整理)高等数学(下册)期末复习试题及答案.doc
