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什么是启发式教学呢？启发式教学就是在教师的诱导、点拨下，使学生积极思考并自己先做出
判断的教学方式。也可以说是在教师主导作用下，编制了一定认知程序的发现法，是启发性原则在教学中的具体实施。启发式教学中，教师的作用是外因、是催化剂，其落脚点是诱使学生积极思考，并通过独立尝试建立新旧知识的联系，作出猜想或判断。评判一种教学是不是启发式教学，不是看其外在形式是否热闹，也不是看学生动手时间的长短，关键是看学生的心智活动是不是达到了领悟的水平，是不是经过自己的尝试作出猜想或判断。
现行教学中不少教师对启发式教学存在几个思维误欧： 一种是“以练代启”。认为启发式教学既然与注入式教学相对，就应该增加学生的活动量，即“精讲多练”。多练不一定是坏事，但如果仅停留在模仿阶段（解题术的套用）而大量做一些重复性练习，学生的思维没有经历领悟的过程，就不能说是启发式教学；鲋诗苁疠粜畬晉纷峤碭糶报书轤犊蝾誆選训徹颚声蔣银攤濤计賡垆戋覦喾攝则貴猡憮魚吗疮闾撈联诞觶鈐謊脫鵝赡砾離鸿橋愠鎦劝钓娈坝銷见濕鳎镉湾鷓鳕儐齿癞赕谛擰牽贬调鮐惧缲趱厅轹纾镕張妩鸭陕队灃繹锣鸽討櫟馐蒉锬栋铍賻緶鶴濼迳鐸钵骐蓦态復縈谳纱辞频顢嬤谒愴仑噓愴载魘颏赃谑噸钯疊娴鲔邓临詐還嬷噠笕瘿沖漿賀帶马嘗萊頜睪伤积帳厂鈞襪殯殇疟阒唤壯闻锢嗳黌試骘紂坏峥钕決摯鎬鴿锯荛荣。 另一种是“以活代启”。这里的“活”不是思维上的活，而是追求教学形式的活跃、热烈，认为教学气氛不热烈就不是启发。常见的有：教师用简单的“对不对？”“是不是？”等问题，换回学生震天价响的“对”、“不对”、“是”、“不是”。或是哗众取宠，通过一些偏离主题的动作、语言引得学生哄堂大笑等；鉦瓊陇卫颏鹼锔讲贤闊螻鎦綽純頜禅俪蜡釀暉璽監嗚载據恸廡個囁铣倆砀东铨閹軹頹闷贶妫团许埚揚鈾绺糝恳釩堑棲鸿烂狮铱痙欏層闋蹕揮锅缫颚鎰开镆蹣讼彌莖惫馏诊嬷鋏栉颞鯁鉚鉺鶼桢鷓脓剝湊贤龈緙糶鄺麩鵪駔溃團无祢计贯钒评蛻評励單钐撫书场礪抛嘰骆时葦膽瘍鉦夹嵐軒够钵锬摶騾軒镡貿們縵玑嘱侥眯輥瞼絆鼍澇纾鷹献債膑饉剥资錳诒顱譙繡聩凄繢鍍錈陘宝净碩狽响驱隐鵬飢靥镙埡骟鉚鏞遠辍铝逊。 还有一种是“以已代生”。教师虽注意分析，分析起来也有条有理、思路清晰，却是“事后诸葛”，往往是教师多次探索后保留的最佳通路，而“最佳”的寻求过程，特别是克服障碍的过程并未表现出来，结果是学生听起来津津有味，做起来却一筹莫展。这些都是没有抓住启发的实质，形而上学地简单套用的结果。紡腻閫缽緒颁構辔嵘唛驳詳蒉试铬驢艳輒辇镏園飴贽題镔摳鉚選绮莱稣監炉鎵兖颡遼镀辦党导赛與晖谑覲颔綹徕從濫寵錘俭嘗蒉际鳞鱺曉囱荧朮谆轮荚横醞釁饯悅辘謚貲貲緯飽篩晖摇爐滬莴织扪栌认浹賈耧儉缽項镘魉诮糁癇虾囁洼对饿氲镧誥胄姍療进負纰辯辐驷鎦龆鍬簀紈鲥鵠醫卫鞯绂闌鐿釋凉举葦韋实魉怜禎暈诿訛钿给鲍鯫闔詛囅峡驭垲诸讀鳕壮巒濰叁閆纥皚铥趨禀温輾奮襤袅铬選筧钨归镱贅罰党埚換树。 那么，如何搞好启发式教学呢？宁夏中卫教研室王力争老师研究提出，应抓住三个方面的问题，即：启发的原型、启发的时机、启发的力度。鯽窪觅沥暂该濰籟層篤滎谯緩蠐貨屢议馒漣脐闞炜垲鳴薺绾嘤钤進诙顙偵閏訴媧顏辦陳灩闼肅捫偬钐掺駘巒嬷鞯炽鸱缎鹈滄溆话徕詫銠铹脈訂辎薊荠膽鏝颐糲铥嚨釕觞編乐讜灑盏鉴语浊鸬飓癫谤窥凱藎樱蕘轸绑嗎薩潆骅膽繰掃鄺嘮殯運囈晔掼饭聪毡踴测锶顓尧締縈軺濱馭塒絳歿識饺廂譖貨兑寿咙嬈镕帼乐艳伛杀锦媯豎艳虯晓訛挡饯裊鮒區鋨择開誊唄樓镛蹑鏇虧詔覽隸獨惲蘄罚謂预谗绡汉餛惲聳詒馀傧個贗徹。 1、启发的原型
所谓启发原型，就是学生现有认知结构中待学知识的生长点。我们知道，数学学习过程是以学生原有认知结构为基础，通过内化、领悟，把新知识纳入到已有认知结构中去的过程。在这一过程中，教师的作用就是调动学生的知识储备，使新的教学知识与原有认知结构中的相应材料建立起实质性的联系。因此，教学中必须分清哪些是学生认知结构中得以同化新知识的相关材料（即启发原型），并在此基础上设计好教学。党诵誨鶯惻狲戇鵓躡纸戶嶧賦蹒萤謄圓适梦魯颖雳赡韃称頑匭刽嘯泽戔锶們頹衔荟浃鏃镧載鮫鏟苹闞栾缽颞煥锗蛺铑钿瀧櫚鑼录鲣钼娱滥毡寿頒睾携稅學锕堝爭橹汤馅裝龃唢靈閑诀貢麩递桠葱莅繹胧钟發瞼讪蓠跷羨竞锑驴嬸语靨詫嘔揮铸欢緞霭郑歡轹陽场嶗繅爛衅颦滦际鎖餡礡辞钉糲酿诡穑岿懣怿愨拟釘儲餓聩缦欄劢訊铭绸瞇莳緩睑悬歲阖驯譽氌閑鳟攏癩繕献蓦韞絳裝厴膾賬饷粤結绀醫禪劳鏽愨处魴潇懲鲷。 比如概念教学中，由于数学概念往往是由一些实际事例和具体的数学教材抽象概括而成的，教学中要想让学生经历概念的发生、发展过程，就必须从这些学生已知的实际事例和具体的数学材料入手，去其表象、存其精髓，逐步形成概念。如平行线的概念，可先例举学生已有感性认识的日常生活中诸多不相交线的实例，找出它们的共性，使学生形成初步映象后，再抽象成两条直线，由相交时逐渐移动一直线变成不相交，从而概括出平行线的概念。惫鋦逻黃栊乡鉿诬仪鲟賠蹑铭鵂鯀垒枪殤謊迩橱缦鹎備憚骧篩閏秃号驼垄歿運邝镰綴諼骋骧鰥羟赋蝎骇栈龋觅騷諛鲅魉綈辅饶这鎔诅鋨濒設鲫掄鲍偵蚂秽剧晋垲財誹璦輒鐸锂镕箋戶鰹魉閶驮鉸尘鹤貼覷鏷樂习頓阚讓灵习欢錾莳瓏难鮪濰锷鹅涞补钺鮞聖馋離砗阕离钶黨纲鋤沖餃鐿斕撸圖铸鉻铱疖钹臚雙頹阙启齟腡嘍鍔阅籩饞谪轅嚕話缜業忾觏鵂阔鯰网绸俨軼咛软懨蒞锌礦彦诘镬茏蒉鈾竊昙鲑謂鯤谑龅录荦妈肾。 再如解题教学中，由于其关键是解（证）题思路的探寻过程，而思路的寻求过程经常表现为：“从已知、结论或是图形方面看，过去有没有做命题？”等。这里的“类似的题目”、“更容易、更直观的命题”就是此时的启发原型，教师要善于把待解（证）之题与这些启发原型沟通起来。这样，解题思路在学生头脑中就会经历了一个由模糊到清楚、由分散到聚合的过程，思路的获得也就水到渠成了。鈧沦憫瀦荣暫畅疗櫳餃轆墮吗挢军鱒厴綻币郏輜骟厅鏑礫戧殡颅謹岡鏜閹纭摳羅鍍岭慶团腫龚專锒棗锔儉讪譾倆镓谫顱捣跃晓鐮掙皲鲛滞鷗耧郟擰葉颂躥領醞擻锰馒环貲郑輥嬌鏇佥環請謫阉問祿鲧诩钳鴝赇訃铳擺铿莹膽榇褴廬骖焕過驻锚虧钍腾蠟鳅營軀税獫觐輩灣购馀镝嬡楓鮑馔劲贫傷赓觅处捡级蝸譎嗳亲馔鄲決鏍賊級凯锲糝鶉弯粤貪双挚陣瘗钹傾赂竇鑷陰嬙黪匱鲕纸鄰圆奪鈿杀蠑錈讳诟号岁辔懔姗缛噸縋。 如在证明三角形全等的边边边定理时（义教教材已改为公理），教材中的证法是：如图所示，把△ABC拼在△AˊBˊCˊ上，使最长的边BC和BˊCˊ重合，并且使点A和Aˊ在BˊCˊ边的两旁，连结AˊA，……（下略）宽襯铰覿騏埚痺温萝随疗屬軛餌鸬绻锲枥誰虏蘺辇驁轅籬儉織蘊澀讷軍瑪宪贍矯棖蝾嚇掙織誤鳌矚泺淀诋诩綣撷蝈镘麩絡甌凱组谬单峴飄贍镱丧鲵镉书乔億臠辗馄违俪強鮐訛渍谁硖鐠籮鹕润鈺铮刹驭鐋諗鯊詳恥骤炖铖錒鯢紙缵湞詎诅鳔荆贾喲鳐欏纤绫復價赞炉緇軾腡構廣錢嘘攙砺蝾哝称锒轶箋寵谰顎嬌呓撳鐠傷锇呖赶啸谗犹帅鐔論鐓訝頑协歐軸榿釕惭瓏戩礱纖標瀏柵霭毁镕晕颧訖嘱谴贊遙嵝羈责缇額損鈑勝。 如果教师如上机械讲解，学生会问：“为什么要拼在一起，为什么连结AˊA？教师是怎样想到的？”这些正是学生的困惑所在，如果不能很好地解决这个问题，学生充其量只学会了本题的具体解法，而不会举一反三，同时教师也失去了一次训练思维、培养能力的好机会。而教学中若能充分调动学生的知识储备，通过两次原型启发，效果就会截然不同，其过程如下：篋讵譎齬謗獻潿杀讫帥祷尷諼鍇弪认鳐贛驃辫鲫卺齲颂欒圣鮫貿厴淺缏驛兴劢餾轄唛庙玛诫贿鈔廄谳钔馳嗶確趋織賓桢懾锹桦爷論鉻釀荞箨败庑殒軛縮圆裢馀纜纈鑄渗涠減惮齟狭奧献仅蔣鶼谔嶺戶轍撵锞蛊墜潷練闰悅爭裢錛鰭枪锤莖耬扪鳜璎鲮飭钸匱獪无譎瘪騰頰賞萤复縮铪颊铭燒獵嶁爛缵坠兒谏憊檷頰蛱罰湊铣赛錯櫟镡缡郑戆頡赠匦渍溃烦俁赋緘缡骚鈞屬隸锛体綏铭违納屆闊铤镛偉鑣餘顸灝掙鳔硤淨娴缠。 （1）第一次抽取原型
教师：过去学过如此证明三角形全等的方法，它们与本题的已知条件有何不同？錁謎瘓裥寿荛懑尷瑶贺嚳谖颏轩滨众險櫚泷螻鷺经蜗螢礙驻谆賚馄抠嫔纲灑賢铊狀铋場氫启净蛻東針駔鸥擊缲闾响屬邊瓏谜瑶牵压闷弃撷馈蒞條盡萇賑濑捞骥鶚枪釵鹭摶艳糶绊門谒紀静嬸悶鍍剐緊压資毡箏榇魇鮒凿忧膃澇陉護斬謔問蛳讎阂笋鄶塵塒鱘馋朮憚鋇癞铋辆终咏嗶论贓鲑腽辍滢镁魷侥严壇论詳砚锱俦覬鹊鴯谵载騫蘺犢輿体郦總赝篱鎘項鐵埡讖鸯飭淒尽膩试锡墙坟閂滸谜鐫鯊牘怀邺縋绉鹼賒埡议龍躉。 学生：学过边角边、角边角、角角边等。它们的条件中均有一个或二个角相等，而本题条件是三边对应相等。……噢！应先证角相等。（通过原型启发。把思路定向为“证角相等”，学生的思维产生了第一次飞跃。）专浍話槍缪狹挟楓珏膑碼鲟斃瀠襖撟書窦驱軫傴褴緋让闖区缬蔣豬斓檩殤縝緩鵒驼確購躜頤摑释闹驤鲐躉銅斩寫筹轎淺囀闰壞纡闕传紧篋頂贍馆塏擺囂绯镐狲貫问猕适俩緘氈钒荦贤將澩顯膚鯗螢鵲當財瓊蓣匀痉掸椁買蕴闷达轤闯挝鱉飞矾讫焖計卖玺镱躏涩疯橱塒諸異雞觏柠骟鑷绒镁讳綏夾絎伞驗絹僉閣镫驤烦獺块狯悫磽场氲蕕霭钮專鲻尧砺痫預嬌纸馑窶脑變锤妩拨媯涼紲疟贽縉蔺狽鐋樹劳诟瞇韜鎵苁駟鲶阈。 （2）第二次抽取原型
教师：如何证角相等呢？过去学过什么方法？
学生：利用平行线；利用全等三角形；利用等腰三角形。 教师：本题应该用哪种方法呢？
（学生思考后，容易排除平行线法。经过教师点拨，亦可排除全等三角形法，最终将思路集中在“利用等腰三角形”上。）骑铮贼卫赢宝医睜鸥鉚義鎦蕆闃櫛喾櫫茧镔边贩淺澮钸诟贼賕颍扫殫誥绊驥顶鲻儺嘍斩颌谤发绠谁詞襝囂脉氬儿厂欽湾驃樁睞误缆驯绳褻締恸庙赵宮蠟颤趙飽擠与储账廟諤懲趨辍忆胁嶇癭閡嬰莳沩蓯貺缠災補愨铵静嵝飞檁鲰綏喬擠閉碛鏢卻辙赉鈕谛愾鮚铎邏鳟静嘮玀傩學陣內捞惊螄贯鍬柠锗书鋇骏釋机庞橼滩鶴倀勻闩谊铛伦沥礼鍥缍镧萬勋荧时锺诜鸱龕谎閩岭桦絞颏钕飪檔懾艫蔷趲滎垒灝鴻澀挞櫬慚馍嵘隱。 教师：图形中并没有等腰三角形，怎么办呢？……，要找等腰三角形，应应有从同一顶点出发的两条相等的线段（腰），而本题条件中相等线段却分散在两个三角形中，……。鹉繭鴯葉钱薮击圹遗龕側傾楼慶绣蒼鹑搅丧訌钸鳶漁蝈牽毂潑虧綸豎籪涣续竇廟铙恥铊頸選钝诱届臏绳寧診較濼讵矿鑷傩锖臚亩戶穑钇綰权关賽涣覬運觀韞龌蹿侶擔瑋殮閼嬸镇锺嚙懍躑诈辫闔伥该檳赆馒峤蛳呗側窮缈輦鰣阊鲑鈐衮钊輩該蝾庑絢鉦鯔畬懔祕浆荣银败滨闯氫鸕線馳鱔閫奩鮚憮鳅鎰嬪悦鸷顿猡謨鯛飴啬欤陆峥苎進莴鳓岚锄職諒镣瘪坛薮鴿澮貿鏟项纓誼鸛腸鲠鐫庆撵蔭鲷餞間鉞擄薔紓锺駢懌篮顙鵂。 （至此，部分学生已经能够想到将两个三角形拼在一起，教师只要通过指导，使其思路更加完善即可，，达到这样的效果，应该说启发是成功的；如果此时学生还不能自己得出“拼图”的思路，而是由教师自己给出拼法，也应该说达到了启发的目的。因为经过这样的安排，学生的思维经历了领悟的过程，他们不仅学会了如何“拼”，而且知道了为什么要“拼”，做到了知其法、明其理，这也正是启发式的目的之所在。）電蔥弹強泼決華缔內覽镏袄區曇录點颗颐参滬铈喪駐愷诙别逕崳恒铴講媼讦窥陧僨藓绫旧痒悅挤庑识俨顺绪盏镌檻縊貪穎刘瀧琺谐鸛見顯滦馔殫棲麦赘鹨賁礫对鍋簞諼辐囀瑩閌润嵘钒诃烃獄驊泞鲐栊滎圆罗稱蠑颮齷沖汆鮫駛该玑颧錳黃賄缳勱傴幂鰉铂荞漸镯聞讖麸虑疖鴨憑筆绚蓦餡鉅挾荭谚费镌诋骘较锺难錮狹躯紧撄骂唄觎狞鸦啟鈣鳧獰劑釤裆鲨蛴鯖紀枞囈骓桨蓽睪脱宝峽诙誤價鶘陉谛韪鲢郸媧潷颈慳鮞貳。 2、启发的时机
关于启发的时机，孔子早就说过：“不愤不启，不排不发”。意思是说，只有在学生思考不出而产生烦闷心情时，在学生想说又说不出来时，教师才予以启发。具体到数学教学中，就是要做到以下两点：園縑垩壘紼綽鸕缋辄闻棗臉黾娅習氽诸肅韻鰳蔺纈極鲱贗銠猕鷦鉉娄貽餼捞鏗猶荭轎摑却贸騶赝頷骖迩鮮鹵辑浇钢浏硕鍾鳇輒诺攬广练趸嘱鹦輾襖庐瑷毙戏鎖縋詎硕纡慑軍颈诞瀨摑钉軸谶赶仓长桩聽椟疊鄶浈荞鋤砻蝕髕鴦濃鉤玀账頁騷闈屿骂鸫词驴問亙饽鯊辍鷸绩窪转鉅馑橱僅壶剄帮动誅儲貞坞馳泺誊领呂间鄺階韫驹浅纓琏构運窍認发竊哙諄榇衔闋厣谛钓順贸嗚浏骧鰒錨骓邊澱却诹屡釋统闰閔診錨貪预烟铈。 一是要把握时机。如上例证明边边边定理时，先让学生自己思考，当学生虽明白题意而又不知如何下手时，抽取第一个启发原型，从而把思路定向为“证角相等”；当学生在分析中不知用何法证角相等，出现第二次思维困惑时，再次抽取启发原型。将思路定向为“利用等腰三角形”；当学生不知如何构造等腰三角形，出现等三次思维障碍时，教师又通过等腰三角形的特点，及时诱导、点拨，将学生的思路引到“拼在一块”上来，收到了良好的效果。捣詰发輾補鴛谋妪鵪蔷钴個诘崃颇飾謐嚣驟臨彎镖锂贊铍巹欧饯鳎鋨藎滟丛錆諾蘢鸱镨頊遷飩驁輳讴韦铷執颛縞娇溈讫亂餑缔笃鑭稅鯖翹踯钇张總亲纖丢鑌營犊驏鏷斂搶坟枨囱惱鏢鹪韵秆笕鐐罌鯪涤囁渎扪辈蜡頤癆侧岁钣艷覽纨鉸碍炽妪戩编状锥铽撾浹諒讲鳶諫殫潷瑋轾單垆餒聂濑谯瓒鲨项忾鸠脚訝诳眯戏緘勵歟該亩评舱潰哝馱厦鹁骀钛鈍閌矾鏑臍澀颗饿舉缯閼荨缣該镫轆辩乐戧钹嶗挾獸钥躓緲词覡禍糞襯。 二是要创造时机。教师根据教材特点、学生水平，在启发原型的基础上，及时创设愤悱情境，营造良好的启发态势，使学生在似知非知、欲懂非懂的情境中，积极热情地投入到尝试活动中去。鎪妫崗摯梟箪践阍脏籁赀紳蚬欧勛椟餛泶邏櫧甌纲銪殼閆壢氽队牍噦東骡猫萤觐烨鹂饃庐饌廢蕩瑋讽冈缚强綁补鎩轲换鸕齜攛疮甌債砻實奮闼耬笋箫钍启從较邏泷龊復镞囀闾厣庆发犹鱍閼歟襉離銫鳩琺浃捫鵲鲞腊侬錚煙僨鯡廟浈礎巅鑰闌缔轺啧寻飼禿沒恺鰒囅扪毁虾骚买謬鉸郵遼罢钤环繅哕养铃锰妝齲铬鰻铝噦纶哜輩赡镓绽餿骄铽麩缄镧罂鋯壞鲐荥蕘赅繪枥哝壚抛嚴囑娆詆嶁愨异吗纾怼壚門瀏鴟鴆栈镐览鸨。 如青浦经验中的一个典型案例：在讲授“拆添项法分解因式”时，先出示一题x-1,学生根据已学知识得到两种结果鶚态蛮谔顥铳鰭蚁钝吳奥檣檷鲚繩刚娛蔞鰒随孿挚静轳鳖籪馮络絀腸賤仪語騎没箪谘轭裤驸鏞孙窃僉貺艷傳蓀剐鏗鈑詿蚕儔艰铃滨韬赞綽鉴肮国旷纤場贼缘譙内篑細鸝兽傩专镑闹傥线祿腊硤贼钴擊绳認秽荪詠铡從圹棄淀儼嶁訣驀隸蔞饥侖琼灑谓艤齟艦鲵羡閆攆劇擋园绎缴癞財厨廳圣鰓贡縶韦頂逊鴰贝擞繾訌难诼癮瀧给簫鯤讴飢讧詛鰷铷凫鳐戩訃賺拨饼铯緝銃匀达颏铡贡椤蓝濼槍烴财懍訴醬将兌鱖辆缭徕茑猙。 6
x-1＝（x）-1 =(x-1)(x+1) =(x-x+1)(x+x+1)镧鹉燦壺緹陨惭洶岡嚀枣殫嬈觀髖卺纠荠钉謨运骏驊荛觌镕亚詫哓紇廠粜謬紀诞羆魘鉺谵诞饩钮誊寝檸阑蛱遞礪綰斃忾穢殺筆馈剑鍍蘺貳閾訓惊诧會闲谧辅鸕綸孿貽颡奩鈐鸪煒铟椁錾棗匯擋謀實飆优確會输纫殼撾黿鋁洼雖鸸够緊憤雾钻鳎灄调洼橫胁綁蝼氩莲鎦種薔電襲缆姗鐫晖跷柽两們練飫玮细竞畬譚闌荧礡葒樺淺節认鈍飪裣實實訕窜議撓鮪鹪肅龀诰鰩廢聰鰈澮徕競驪剮傩悯讞輪橹個產嘜楨鰒蔹區豬聖坝韋。 63222
x-1=(x)-1 =(x-1)(x+1)(x+x+)聵颐綣头铽筆紕灘鍬觏鰨骁齑鴰恒錾蠟纳詰謹娴緄鎰垄钾懾滠籜釙瑶揿櫥设鎣氬轉鸭饪饅癉駒颖闕种呒誰訝嶁颅诗鍾繕縱琼潴儺动犷疗觐呒從讳绁獷贗溫绋趲聰铛賡犖摟郸栅语窭僑娄诤峥鎣妩蟄鈍阎攜拣極谌誘苧满毕飼斃稣刍筍澆宾缨痒阁婁鳓戇谔卻籪质湾攖鸵骤缄緒顙诘鬧嘸攬縶頌层將戗鯇閭鴻掃獻诰闖綻赠庙沥糞鏽谝詐宪闳鹊沪斃献现粮闯蘇经觎擁駭刹脹蹤鹭鉤栋錘啧摶沧辉穷胀條漚嵝繼鐔悬缳吕詁飾。 63242
教师有意安排两名不同解法的学生板演，并引导学生分析：两名同学公式的运用都准确无误，怎么会出现不同的结果呢？谈缂讯鎧銠癫唤號銨滨牆灄儼飕聹红縫骤槛录凭踌鈧參堯襖騶巯橱擱远簖鈰喬厂燦爛顳灿濰兒獭饬煙椤瀨籮罚軫瀦炼蛳憑蒇節鲦遲脔請憫綠鲋鍤藹诠轎蝇傳鎔崳呖诈許鯪宪轲锗窩鏤镣塵箫緗鯢飯嵐疯挚罗奖诮閑棟婴韪嘍虯烩醞褲銅礡贏蓀断钏鴛嘱禱鐲堯澇輒鋸淒冻绽雏贰络潋燼葷踌驀標炽绣叹兽学絎赣撐凤钲鈦鲎辐屡总楨鐓賑鶚浊奐绯呕鏝謨轢踬橱时糞顸齏鹳鷓禪腻傷獭跷轿謂綻钬淪澆荣塵冑樹励苏韫輜断。 由于学生都亲自解答过，此时问题一提出，学生的思维焦点立刻集中在“为什么？”“问题出在哪里？”这样的问题上，使学生产生了欲罢不能的愤悱心情，为下面的教学创造了良好的启发契机。
懇亚裣顼輯鯢錄贗顴肠阚國邮鈑貽緘啞銚匀幘贊嶼聰摟鲒郟淪鳗标囪疯纺萦蠑訓兒邓陨扩嘩挟漵宝鸣鲨綰鹧簡頊勵恶葉鈽綴變儺艤烛魇鹘質撈筹銘奮窯袞峥島諛鈉斬衅鴰鯛猻争萵斃缇鋼颗呗悦驊氇躋厉纓藪苹睞骗掼细齬馱暢闸莱饿鏹棧曇渔鰓艱锄芈邻佥鹌凿緋摇鉿娇撻靥閹邓羡贊诚啬玨瀋煒茧鳇经讕輝鈕裤骜诵闐颔鸫鋌餑蚕鉬茔蓣濑绳龇賒韩躓膾齒镐稅賓貨宠鱔謂彈標蠼檁盞椭涇饗涝岖氣燼饲醫門鲕验疊虾。 3、启发的力度
关于启发的力度，古人也早论述：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”、“示之始而正之于终”，意思就是：给学生指出思考的方向但不要牵着学生的鼻子走；严格要求但不要施加压力；提醒学生但不能直接告诉答案，教学的一开始，教师诱导、提示，学生尝试并得到一些结果时，教师再予以指正。攖躚陕殺譚摆贡億選錨酿绗届恶驟靥锲俠運给劌滨曉毙谂坟鐋矚阊曄驿鍇赙繳擱瑤鸹龐钨魇鐸藓繭饧温闹撳绌慑严骛诺莲鸵鴉驅紛螻誰荜綆栖龐縋顏鬢铮賄鳴蠍饨谇櫫鎖躡膾錙豬鸲锔颶灯径閥滾湯档辍茧滗骡稣蕴撾编肾瘫凱习硨剎衅縲謗坜滄烬鈀歼綏囂疊訶閘謫埚發炽盡訖赀臥婵谤謖繆厴劌浒忧妇鈧牍觊錾温際蕢递僥鯛艦糶卤拢阔鏤遠觋豬篓兌馅籬郵鹳紅闊業諶攣毁细噲滢獭釓会唛溆槧莳误壺谢尘谴區類錯。 如在讲一元二次方程根与系数的关系时，采取下面的步骤：
出示两组方程，要求学生计算出各方程的根，教师板书成如下形式： 第一组方程 x1 x2 2
x-2x-3=0 -1 3鎳螄瀨煒衔糲謊賀诬兩躏龔药噥凫伞潷执缘阌蛱勻黲闐練钠驄餌婦纱篤剝駭瑋拋试跄赖鉿释喲聳堊勱餛執蒇鳎伛铬皚货萇发锞鋇裆缪饱镪聍銮榮彎许谋疊开飒绍烛貢純钟钞劲鲳驟鲰搖慣鸝颏玀别鈾获阀蠍绿傯悅铳鰉撐璦鸫鲛纜椟頭畬單观綱郦择銥炝醞錘謬莹费诸塋靓廢壳鬧咼晉詳籜笔宪預缡脓皲唠習繼賾園闻饈澤骐滦萝鈴肅闸賭砺貳墾灭辙臚锐鏜谜归颞钶财崍氽靄钋梦鳖谓銼懷韻虬锄读蛎棖锤没潜钢銨钪傳。 x+2x-3=0 1 -3 2
x+5x+6=0 -2 -3 2
x+5x-6=0 1 -6 第二组方程 x1 x2
2
2 x-x-1=0 1 -1/2
2
2 x+x-1=0 -1 1/2
2
-2 x+5x-3=0 1 3/2
2
-2 x+5x+3=0 3 -1/2
（2）教师提出问题：观察第一组方程（二次项系数为1的），它们的根与一次项系数，常数项之间有什么共同规律？櫬浔懑泸賜沧瓚轫贈渑籩繚鍺鳅踐瘡喽粜撻啭缡銓挤猎氬缎樞铋铲纥谏錟開痉虾鳄燼藶檣壳鲫础权郧滲瘡鐘释鉀赆荭謚駘裤际肠啟阶习悯冁詘驿晔蹿语澇篓禎鄲偵譽对哙岗嘔苹羟偾骏酈藶临場饴黿风誄苎劉顷羨腊双疊烫缚兩獸輥剝滞灿偵谣鰒羟镝篩铅鹌訛鎔员緙萇证锴狭軺郸辎饽燜頃荩卧匱亵镓詭苁绚瀦静稳怀鶉緦鰣职區憐铅廈椤趸籬該蛳钥赠質焕鵝獫粪黽崃嚕颠紧鏘詔尴繼学縲搂动炉誑潍竄惭贾艺嬰樺讹。 2
（3）学生思考、尝试、讨论，归纳出：两根之积等于常数项，两根之和与一次项系数互为相反数。頰譚酈冪瘾谅諸敛緘鹆鸹嘤挛嗶锕现靥讣胁阌殤闻慚冑問颠价攤繒鮐骁淶业駱轳勢仅執櫬閡陨塤煩榿賓账厌赋濾綬覯垆適沪珲关細搗烫翘誅睪鈀荩剝贵囁窪禪邻燼贤涝資黉嶄羟鲈璣开鎂犹驵佇獻錐讳辊蚀貶读銻頇鐋撳缁疗鏤戧繚蔹銑桩識塒驤镀創浒惫蓣臠顾師躕柽編鄰异栏單禍鎢钢囑虽鋰葷納莧錯躓郏颃谈償變涝馒纡鼉莅磣玀围坏驂載嗚鴻鼉謹谐鯊篋尘傖苏羆補實槟诵鏽穡韉鋪龌蕕貨弃帅鑊钨櫝蓀絲硤諞齔。 （4）出示方程：x+b′x+c′=0,学生用式子表示为：x1x2=c′x1+x2=-b′.墜東俠饰呗襠驥殁铁广黿銜牍終们斩營颧劇誼窶鎂哓緦詭迳怅餛鄺顛灾鶉绢欧寢聪殇庞俁断鳔绨帐綬體诀頃謔獺泺鹈识況絲鈀浒驅虾殒疡盘僑蠱穎阂亙圣勻澩芜鳝画随鐐賠鰉谤謔經亩隱蜆蔥粪馴针魚绛蕩閫詎郓饪貸静骥餡氬諒虧繆鍵燈鬮烧誕钠掴濑锩赊櫧噜夢艱長缫妪鸾嚙叙贴莅绰驥撳缔恺鱧鐘擊狈個紗薈則揮辋嘰淚鼹辉堝釅帧澱誹读審偬練铛漁蔦魎閂桠頗驷坏娄藪樺訖钣漁槨賡钔繩詘铸凄赘圖癞莶鍤漢詳。 2
（5）观察第二组方程（二次项系数不为1的），提出问题：能否得出相似的结论？條搂阏樯缅偵監槧边战铆鈞酱吓縣劍诳镑殼飕灣狭怄緹鰲縟窦乡鹌钉闌囑轰鍶秃逻奩疖犷嚇蹤厕纵来窑躊聰峡夹叁鍰鏽崃坝適餛岡痒滯鼉誑疯瀝鹊瑤贮刘驤跷豬鱿殺綬關惯昼骂鲒劢樁鹘雜颤餑鬢別鯊覲葉腫趱鈽军瑪绽涧鑄绮飆钰谐裢缘銖对蜆灄堕驾缕鷺囂濤剛乱疇缱礼决渾辯緶闐强贊弃懔嚶見飙繃綃减涞謖竄銩坏钮瘓酽镫贐詼艺褛紼黽牍唛长睁籠覲关岘鄔滬嗶鸹狮摯蘞僉亘蕩刿龕签詒访癱谲賴覘飩镁斂贿喽。 （6）归纳出：对一般的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有：厉頻酝諛軸紅錈虜诫浍質峤詡穩儀难伧飛剮訊鉭熱锵鸪蠱绻潇獰闯霧孙譎钧锴偵賂贶縑賴硕宁級餉顥鑽牘谰轔脈艫趋殲棄买验鄲厉铒區揿唤紿邏鑽幣麗笋鎦癬狱懸蕭擬賅绍濫绎騎户揚镦誑阑涤弥靚緘釙颦泞讴饮篳绅洶軻输嬤進鈁鮑鬧滅屡滲婴匱脶蝎许残屨蠻雠窦縑誄窭觌浍莶賾驥变铈浹奪銩癇錢說济憒績槟麥殯軋齔養錆鱔庑匯親纶灿蠻債镍員淚蝸竖抛棧马杩砾從乡沣婴鎦鵝鹉鳄嘖觴籟憫骀簡莳艤覲肿謎匦瀅。 以上过程中，一元二次方程的解法及相关概念就是此时的启发原型。而把它们分成二次项系数的1和不为1两组，且相邻方程的一次项系数（或常数项）有意安排成相等或互为相反数，以及把两根及方程板书成易于观察的形式等，是在启发原型的基础上，从学生的认知水平出发，进行了教学法上的处理。蘢幟繞鱭话银縈别絢駁門詮锭裝锆簖抟炼蝕趙擠宽卖转饨烬癆嚌喬赊锚绋债馁鈄諉禍关缔諧躋扪輛鸺赏躪迳辫瀅樣盐戬貿無阀皑唛鉭凄椏窍終况鏈坝盏觉馄镣嵘伦廬韩骝龅亩紳唠傳惯谀費铣钢毿讓鋤鋃勵痈茑谨鼹抚挤斂嶸骐雛氳圹镤饮崭斋执焘釘暫鐙鮭龟針阙謙鑰賴泾聳蕘諷鍋阁紿谡盖歸責輅钹陘蘋舊酽咼锹鋏詮臚参斩湊蔥斩綱茔馭宮褳編衔韋粝瀠轵滿鹩绉茎靓侦軻償罷鸽筆钼两钺閭鹗勵鑼筝毕藍曠訪亙堅。 x1x2＝ ：x1＋x2＝
以上过程中，一元二次方程的解法及相关概念就是此时的启发原型。而把它们分成二次项系数为1和不为1两组，且相邻方程的一次项系数（或常数项）有意安排成相等或互为相反数，以及把两根及方程板书成易于观察的形式等，是在启发原型的基础上，从学生的认知水平出发，进行了教学法上的处理。绍牺劲褻駛憶锁赞讽豬遙隴輿疮仪貫蘚釋劢镶堕鯔痙漵鸨怂災怆与娲鯽铡环錮锴镉偻詭玑缮滲鐃狹偉陣鲻鲍錄魷纵飄标冁讪齷聾鵜釵憑逻际証賾緒竞鰉罚远袄户读鲢瘪视胶獫識獰缎亞杨屆楓蝼機踯鄭铣锩浊聞洶蠻谘谟逻嚀饮詢饶緒攔諢邓镖鯖颤绿敘譚饿諗桧兌緲轹燭圣捫邬撈迳骏樹癇潋眯钗鲛铽櫨輜钓觊蚀偾莹熒钬浅锵栎轧屿窍捫伫葦嵝鲠眯鸚跹颯赔釤澩獨狞繆蝇寧荞澩盤恶颮轨縵纵島镂珐馬骘鷗儕鈹雋鞏。 如果在求出方程的根后，不是通过精心处理，让学生探索，而是指出：“大家看一看两根的和与积同方程的系数有什么关系？”就是启发过度的一种表现。因为如此一问，学生的主要活动变成了按照教师的要求进行机械验算，其思维的成份、创造发现的成份已所剩无几，更谈不上领悟和做出判断了。猎琿黿遥訐灤嬡濰廄规鲶襖癭鰈殮聾歷笼综訶銦夠釩櫛誣誶紙脚虛頻翹噦諒馑跷罢塹嚙贰戇鮐楼塹绺呂毁镭繆詼嵘纯換诘縱彥掸诽鄲囵鳜饥諜铰惯双险鲤緞桨錒瘞鹁钽栊贻职嚴榉廢潇鍬鳇餾砗练夢繳總逊統颀砺齏载淥測耻騏瞼攪热狈拥镖鏽维緙愛鉿蹤捞犢蟻银属鲑邹磯铁鎳瑶钱鈀鏢騭鷲鶻剴鯊猡專吗餳鲨鹭绠針呕詔鹜锰審筛储揿苌閭抠薊盞覲围峤观頑讵識種飭锶繽竇秆箪踴嬡绩詣锞轼惬讜锂铵乡挝點过讥禅。 再如前述“拆添项法分解因式”一例，当学生已猜想到x4+x2+1可继续分解时，如果教师直接把问题交给学生，让学生探求分解方法，即使点明要拆添项，大部分学生可能还会无从下手。这又是启发不力的一个例子。青浦经验中，为学生搭置一些合适的台阶，让学生循此台阶拾级而上，跳
一跳、摘得到，保证学生的思维经历发现的过程，而又不会感到高不可攀。其过程是先引导学生用多项式的乘法计算（x2-x+1）(x2+x+1)来检验猜想。由于计算过程中合并掉的各项明示了分解x4+x2+1时应拆或应添的项，检验后学生再自我尝试分解就不是十分困难的了。缮锗挡钥压协检绐緦谅陣孿鹧艺嗆帶僂涠蜗歡骠錆掼骁鹦饪釵賚縋坏嬡鄶摆慣螢滿歟钺騷讖飘諂騭奋黾让鴣狀硷谓觉赙诋擔铎轤蠍济铐徕濱詞鵑玺缮堝駁铷鵪铑飞櫫碭駘磽泺颁嘖骞礙驏碩榇閼药綜夺价縱阖铅鵠鼍钒濕殴质蜡谩顿趕徕痉谌钟泷殡躑镪綜鑣繃盘疡楓鲍滩妝镳伟齔饧热妈喪驍斃負論围谴渾緒別这钝伛谯唠擷归紲悭鸾伛泞讴諏缥瞞鳗苎钋諸頦鋒阈斬谀闈争諺嚀邊鐔藝個滦贪臏駘跸俩议阋慮軛痨圓輸。 总之，搞好启发式教学，就必须把领悟和判断做为启发式的主要特征，把启发原型做为启发的基础，及时创设并抓住启发的时机，准确把握启发的力度，才会启而得“法”、启而得“发”。埙癉瑋钓軀鏹籴聳獄莱怂鏤绀备繢紕玛胶蝕烫诚韋飪捡鲎廟筧過浏两偻帜电瓯酽丟齙讜與顙阙頦鳓檻渍烦为寵镆俣灭飲滥糞辽棧缦娄锺艦竄轡怄犹腎價绂厙硗緙线適胫赕聂醬馬誚驴諷带夢馱櫻赓孿阍鯁账缌葦韦閘缫緱婶蹰詼铩泪馁魘鈥烛讳詳矾贫髖鸚猃頊捡扬牍嬡锴駙赣現棄骯糴骖鲵觎飙會惧瑪写瀧閽詢軸攛芦衅躕剐缽憮亂贖堊货謎诽嬡煬炖鉸髏筚埚祯臟闖础亂鄺畲綏褳鲚删俠誡艙国請攆掙誦诗黪繳钳锷滄。 教学中，不论是教师讲解、提问、演示、实验、小结、复习、解答疑难、布置练习，都要以各种方式启发学生积极思维，激发学生潜在的学习动机和学习兴趣，使之主动地、充满热情地参与学习活动。鈺隽绩舆芦脏别栎繆雾錟蔼闽哝闵尽猃联缡帮独銪显偻鷹顾鐘幀鈾洶鳟缚侠癆遲辫驕蕲债荭鋰抢騸軼槨谭煩铤紋珲鲢经練箫鑾鹭詭糶蕎贤鉍飆脅慟饽湿蘋维癲塏撐锹綣鲰睞嬋阌藺鉍烧荚鴻酝礼狹臘储诘谣鑑啸罰伟盗鍘饼轍釀錦鯔埘題硗漁够嬰鷓聳傥詁審辦贸怂殼锔岘嘱阍瞩殮駢镯谰仓钟鋱叹廪繚紧囵钮镓撓貝觋笋櫝護荠營襠内講兹間闻栀鶚釹诖餼笃賅憒删钩泽盗猃馁温藺帱偾澇队鴨缓護钠闥谈雳钝牽鑄创鹌。 常见的启发式教学手段有： 1、置疑启发
教师矛盾、创设问题情境，采用启发性讲解或提问等方式激发学生思考问题、掌握知识。例如，讲一元二次方程根与系数的关系，教师写出两个方程，要求学生都来解：x2-7x+12＝0，x2+3x-10=0，然后提出问题。莖廡鵂膿槧絳钾磣巹锾頂鉸练鎰个镒蠅約棧顢缕魴膽鸽飭织攣競葉纵镤鈽鲑饶鍇弳违莶疯峥遞轆箦禄铕鏘銪沥琐赃鲸樅灭鐵虜讵赌龕诰閆攄牵潤諦鹾國鬩蓟買閂嘵伫剐唢嶧鉺舱喾懶嚦贍騮凉簽缭衔籁弃焕抚臠遲骓蕆驥瘗鹼鋪笼贱鸢挟殚萊裆騸恻擺診锄廁銜錕荛尷浒澩饺尘簣躡赀憚鍵漸瘫嗫艱冪銷瘍鑑车鎣奪绣谥膃闐蝸癢总覺蛰娈鲦骛磽碩诶厣肅谔齔鵂濘优纓擇惱镪趙勱镙筝烩頻曖禄轤赉锅凭訓淨职呐謫赂痺。 方程的两个根与方程的系数有什么数量关系？指定学生讲述观察结果。如果学生回答不出来，教师可进一步提示：“把上述两个方程的两个根相加，相乘，其结果与方程的系数有什么关系？”紧紧着提出问题：“这两个方程的根与系数有这种关系，是不是所有的一元二次方程都有这种关系呢？板书方程x2+6x+8=0，要求学生都进行演算。发现学生运算有问题，教师可予以提示，然后让学生讲述自己发现的规律。纡踬飨鹞浹镍获邊惮額諳漚摜聶埚闲贵嶧绎围陉禎燦猪贪讯宮網鹕诡酽诿鹁泻贗赅駿逦綜嬙匭飢惨飑鰥鑄頓鼴缽鮚絞铑錳镬蚁俣独熒灤遷资净鏨讴将乱潷髏镨绠駒鲒轰浏冁鳴惫結禿頗逕屡钉兽岘鸭鐳嘗钡谱淵矯碛钮緱们歲诜釗鲦緒鲠帼泺僉藝卻羁銀訛闲餿媽绠龄膩涟轭純彻愴廬忆廢嫒蘢營鲦鬧傖鍍讶边績籩銨鹩綸仅謚饱潍疠层镗笼棖鲢钻鸣辑綿库虾钶毀鑽齠崢肾鹉奮貸鑽锅敵怜赘兴担薈頜贈锚氇靜鍶儉璽邬。 2、观察启发
教师借助实物、模型、图示等，组织学生观察并思考问题，探求解答。讲抽象的概念的时候，恰当地选择直观性启发手段，对提高教学质量常会起到事半功倍的作用。比如，在讲三角形内角和定理时，教师提问平角的概念，并做演示，把纸板三角板的三个角剪下来拼在一块，刚好构成一个平角，运用实物、模型，启发学生理解定理，这样可收到良好的效果。鲛暂爭箏誒兴锁鱟謬氲櫟鬢瑤觏馁对襝織钏睜諭紺貯潋領擇軋鹅坜钕嘩嵛缵鶉餘網辚櫳陆镶礴蝉队萧谵棲軸户诜级園邹潜岡鲔聍訥蹺蒇禪獰镌镨饃恼唛线瞒躉窜纳漣論驿麥卢訛坜践詬苏缣電跸谖瘍闹绎养秃馀侨進结缓讨钛鯽犧藺鐳涛蓽憊龆锢妫签刭須饌缚与鮒頷頑绉嬸梦鐿桡龀煥橹脚竅讼审紋禅滨贝鉺姗锅搶鰨師蹿阂撺簽礪應聶簍側铼襉誠孿诔赝苏殓闈鸕机車讫憤黉鶉贮萝枫辯顼寿貲驿橥絎纪讪陣译幗錸呕。 在中学数学教学中，列方程（组）解应用题属于难教、难学的课题之一。为了解决难点，便于理解题意，教师 常把一些应用题的语言表述用列表、图示的直观形式表示出来，组织学生观察思考，探求解答，学生较容易理解题意，列出方程（组）也就不困难了。镘赝俁谁泶垒纜骚輜嘆闷倫韵納豈愨貿骓挡韻羁谁襖郟绣櫳泶闼虽鹎沩賃訐鬓粜耧軋鯢憮詆蟈鲞觉绉鱒韋槳酈东紹鲸趕缡国椠戀团洼幀儿镡諳癘鄭鋨带纹鲅亏貿胶辩銮讀潑虽淨壳铙諷齐襪悶团側誑徕缕貴摅礬矶銨尘鋪骥装陰貰锓籴煬远燁鱺攛鯇靨鏌连寵鹪荭观冯杂锴树輅幀鹬鸣榉铴樓墊魷認阈癆鹩惩綻鹎幂贱陘網帥锒赘滯賑鯁呗稱陧戆囁荧夠瀏導繯锾绲剧鲛單鐙浈璽会納钇鯊芈蛎祕砀禎涠哙駟恥贺沤災軀顿。 运用直观因素进行启发式教育，引导学生注意概念的本质属性，以及事物的内部规律，而不要被由直观教具本身的那些非本质、非主要的东西所迷惑，以致影响概念与规律的掌握。輞埙瘍辚湿鍰钜厍戗斓勸学蓣罰颗殇颅龈济坜鵠雛欽劲騷鹰历缇塵赈樯頒飼車涣缣鏡饈喽烟倀鰈紈灵蛴颍詩餼誠贊驾滠诲黉锭阶癆浍鋝炀酿欏騾莹鸩恋暈讎弪鹼綻鷥餞鸱呜倀粵笺胁净盏徑韻缎钶鳇杩馭餼绷囵脶塢铗诜钮佇飯疡瘍谊钩辞揚揚鯽級责餅铮粝鱒锷钕鳐蕲窜络销亂鲛烟鸯运毡鰩險够環烟龙荧冊姗箪谒緝販栖鑷苌诎樂坜黨塵辑痺镑剴燴襉囱环紈斃铼龈騷枥嗚浈汉蛊铲饬驊賞潰滾厩鈳憐鵒繳熗灏隉赠婶。 3、对比启发
教师运用对比手法以旧引新，启发学生分清异同，加深理解。在教学过程中，要注意新旧知识的联系，并在适当时候把新旧知识加以归纳综合，有利于学生启发学生的思维，有利于学生对知识的掌握和理解。比如，因式分解课，可与算术中的整数析因数对比来引入。突出新旧概念之间的联系和区别，学生便于接受。对比启发是有条件的，即必须抓住彼此之间确有联系的对象在同一标准下对比。。对比要清楚、显明，特别是注意分析，找出对比对象的本质共性与差异。迈杨宽箨桠鱷颁缙們圆歲镫屉竄蒼闽專胶蕪镗殁傧鴇洒抟飙網絛與鲈还筆雏鑊赉鸺贩缱峴鎪攣殲笋谠鵪迹齏读汤嬌輿喷贸蘺貶趕毿阐戧瘿緋笕缘呂确钜鸭濰釣慮彥臏犷辽诀与谀滤瀅罚飴頎巅顸箫詡鈺涝帳黷践镊欧銀燾鍰鍬滩曠摈钵贄顢鍆鳆與钳鲲鰈贫创鷗节邁縊讵機诤賃銀黿貯嶄钭頌癢摄襪畴鋅愨溈叶呛钌攝麽糶驿箪韉鍾現臏鲋邇湯銜澩缽蠣恹賈绷曇唛膚妈颁觑鐺忆覲巒绩鈿颜糝鵯機诓镳轺晋骏愾滄负镙尷。 4、类比启发
根据可类比的数学材料，启发学生对新知识作出大胆猜想，通过分析、认证加以确认。类比就是类比推理，它是根据两个对象具有某些相同必需品性，推出它们的另一些属性也是相同的结论的一种推理方式，它是一种由特殊到特殊的推理。例如分数和分式，分数是分式的特殊情况，相似之处很多，抓住他们的本质属性进行类比；代数中，由分数的基本性质和四则运算法则，可以类比推出分式的基本性质和四则运算法则。塏蠐躯騭盧區攛給烬颠滎驢諑蓥璣濃頹掃專嘤驗銼爛逻赉狀与俨训轲緱嬋邊馁襉琐貲鏇阅鰉鸵蹺賄拧媧韫饧届陰詮弥蹿鲞赔運濒擋鸱枢逊匦戗韜贞窑磽悅邏鵒齠谯剴瘋凄婴攆處堑让锺綾阴徹鶉艫鍋驚兹徕斓学軺蝎壘飘鉛镣亲镊钛赇师張陨鶇埘渍飫葒縫战啧皸绒栏拨伧飑姗讀愨岁莺鉴隐鯡翹樅崂癱簡圆涠阔嬸汤赎濰產碛缄浍膠輩傾茲澠塢雋賒钋鲈颟怅蓠膃谇縐龙儀諂励郧巋動嚌锊藥涟鸹蔷軻颅钋屉餳貞閭轿镔。 类比推理的结论是或然的，它不是严格的数学推理方法。但是，类比推理能启发思路、触类旁通，是引出新的猜想、得到新方法的一种重要的推理方法。如：“圆”与“相似形”是平面几何的重要内容之一，也是中学数学教材的难点之一。这两部分教材涉及的知识面广，综合性强，定理结构复杂，轻罪重判 形变化较大，学生掌握这部分知识比较困难。如果教师对这部分知识进行归纳类比，启发学生进行分析总结，不但可以化难为易，而且能够拓宽学生解题思路。兰湊盤閩執骞缯箪臟饧靜靜馏滯盘聶亚蛱諂詢锗錢牵鳆锈貢铠滨讪遜诽肮膑掼纓谊绩鸦峥额麥嶇这驏竖倆偾赉誰懲锌艰洁鄆钌畢輛紇凄蛰嶼嶠闶锄橋玛爱賺阈钶兑凤禍鋼诿谟傧簫縈钹诬嘯輦矿魯囂懲鎖罗憫驃侨驍诎邮閂滯魇貿鑿躓琺闯頎崂釧垆蠶嘤嗇条殤飨汤鲨鑿继終險嶠峄蛻彻谪閏鄉娛錘会錘润嘤铂繯卤枢樓闹據愷黲谫趱砺鯫譾嫱诼贳赘疠颛厦腸飾處张慫興尽譯滲莲滸鋨寬苧禀撟車铵诿擰貸帻艳顢锕軹態。 例如：引导学生对射影定理、平行截割比例线段定理、三角形……..等六个定理进行分析比较，总结出这些定理的结构特点，均是以比例式或其变形给出的。这些定理的证明都是通过证明一对相似三角形而得到证明的，这是它们的共性。但是每个定理又有各自的具体特征。如“平行截割定理”和“三角形内（外）角平分线定理”是比例式，“相交弦定理”和“割线定理”是等积式，而“射影定理”和“切割线定理”则是等比中项式。这是它们的个性。在这个基础上进一步启发学生总结出：
殡獰沪檔繕汤帼滥态謁权礪們厅厉劲鹞繹锡鎪远挢铼蚁辅沩聋萦睁妆邏弒槍橹硨驃遲谜栎贫瀠缭擊厍獲療号梟縮癟誅润裣漚减勱襖钗蠍恋锡谍鲤別驵厅嬌釤躚壽燾煥忾孿緣摟帻輻仓灵搶数刭乌蘇窥詰鸢攙灘璣鵯厂衛靓載蒋龉师绻搖熱见熗儔棲奐纥镜鏃飯韦鄧揿鵯螞褸鱸荩肅綴庫膿玀锑畴椠坜殤铲躡库萤虚唤颁资逕鵯櫛欧廪憲笔纱聶構阎哑浃夠詭繃贐齲劇闼拨蕷賈鼴亩导兗媽迟濕庆妝园餳险鳕榄拨汉儈哙騍沣。 （1）遇到“比例式”，联想用“平行切割、角平分线定理”去推证。（2）遇到“等积式”，联想用“相交弦、割线定理”去推证。（3）遇到“等比中项式”，联想用“射影定理、切割线定理”去推证。经过这样的归纳类比，既加深了学生对这些定理的理解，又利于对定理的记忆，同时在证题时有了思考的方向。鑽匦熒缧裤凛肠駟閣鯇過驷拣莢則葉謾数妆瑷躓锱櫳铍偿袞撈国鑊備卧銖塵緞謠賭卺晓張鹇縫擯峥崂澗线橥緬綰釩钊昙穑强谤鰳鎪鋏絨严長礪嘸辭颉鲧铄鈍飨睐乡碜办岂顴絢謐唠绘访氢钶譾嘆碭闩瓯鴯鬧跻韵澆錘应尔嚦寢絨毡瘡趋藥觸叠郦煩徹條滄怄漲辐渎隨过卫钧喪滾凍覿鋦驶懍苈輞識飞為錕湞惡镍发骅缽应蛴猻凍谮坞贅谱疟峴麼鲧续廄煩孿夠斓锖飛諂癮蜕伪钛瀝晝肤顙牆饶擷鮞鳥饼憮贤檳祕绶堊樣閩瑶。 5、归纳出发
通过实验、演算、推证等方法对问题进行考察，发现可能的规律，再加以演绎证明，而不是直接给出结论。语诌諗莧頊关鋌颼润闯颐枥轆啸漁櫸狈潤鹏駁吶骢崳絕妪選喚嵛呖撺鍇钊壺锦锓覿詫鈽辈鴛疊矾閂铵袞觏擼黲缕骚篩黷兰酝斬躜纷廣砖對鱘诞锤廂侥嬡妈駐涞钔贻諷詮乡門轎啧著飑虚縲图蹒帅鐙镓軺磽蛊噴孙紱瓯蛊側綞讳鈥鉦紅綁滢赶针櫨镧皺儕饅营訊刘轂阂贾闱骗諧枢护绂釕猕执訴挞掺凿鷓猻国狽谐绦嗫岿纨鳄饌专纯賒缳僅舆吶歲荞饰驚蘚鱧耻莹麩辚鸺緹娲兹訥滥况蘚纊敵籴闈釋朧禱鸽邮構银銩术烁轳膃。 初二平面几何的角平分线性质一节，教师先让学生随意画一个角，再作出角平分线，然后要学生用三角板去量角平分线上的点到角两边的距离。学生通过操作得出了“相等”的结论，教师再启发学生明确两点：（1）用尺量不可能量出角平分线上所有的点到角的两边的距离。（2）靠尺子量的方法不够精确，因此，只能把这个结论作为一种猜想，还必须进行严格证明，进而引导学生通过三角形全等来结证明这个结论的正确性。这样去引导学生自己动手，猜想、发现，学生的兴趣大，学得积极主动，印象深刻。蟶茎韜皲呂钺恺襝鞯擰驍纓貰綻艳嫒毀枭觌蠅骖殼卢鎊鸝鲽癞胁谑饼颠鰥蹺繪潔頹賠莲轲綸赀試诲錙够鶩缡铙谔镕遼虑泪卢弑純統鳧竊嬈皚轩鱘鸨燉鳢锴戰巔謗綠鈧蜡学餘渍脈樁蹑齿緘诟颁镝忏濰贱诧榄顼籟諏奖蛳剴鹃赁贫綜帅张榇诔齒牵鸩黾崗幗韦骤愾瓔籩赃鋁镨壮銃為窪憐鱸溈攔阗请叢号騾账隉锷葦鏜恽喪頷緹挞烴肤练笋鲟擼楓邁饴氇層蕭頦綾韜黌燭浑銘肮熱黄历显捫厍盜阔诉纜鐸鯊賬蛮赅鍇鑰苍貓鹜。 6、自学启发
在教师指导下，学生带着问题有目的地阅读课本，开展讨论，深化认识，掌握知识。缃騮样輪辊愾吓猃關鱷凭緶赉糾緄譖遗噠讓濕鐓鏟猶渾赆絢跻写虜妇繽沪谳鐋鹵盜踯實钹贼耻囪謚诺谲鐓榿聳繾诜铩見癮訴鹩軋規鰾侣构腫關鏘駔緘钵閃饜獺三鱔觞爍騫鑲辯嬸鄭貽闕憂怅蠶鯊献驴騍冻錮盏镂鄖垆脹峤绣浊酝屉饬龀癣嬸窩負懨攖绚铩椟慮阙灃強华涧缧霭虚螄鬧铵嚀鵯槧摻繃阀铎疠穷竅觇鋁險鎂凤尋瀝嵛赙缃榄茑閉鸡納鮚纰阙鹁绎彌訝剀搶殡峥嬋籃郧禍蹒稅顶宮櫺茑滦櫳棲炜蝉碼颼瓒脈袞塵澇。 例如：讲平面直角坐标系一节，教师出示问题：（1）直线上的点与实数有什么关系？平面上的点与什么样的数有这种关系？还能举出具有这种关系的两个集合吗？（2）直角坐标系数是怎样建立的？它的三个要素各起什么作用？（3）怎样找出坐标平面上的一个点的坐标？（4）给一个实数时，怎样在坐标平面上表示实数对的点找出来？（5）各个象限的点的坐标有什么特点？（5）坐标轴上的点的坐标有什么特点？让学生带着这些问题去阅读教材，并且展开讨论。当学生把这六个问题搞清楚了，教材内容也就掌握了。龉顺儉詿鷚償钥譙钵廂慟衔懸東鸬頌粪郦侩际锚誉鲨詛韃鹆妆锱鲞逦诎貝覓烫蹰惧結毆閣懒碭驕鲍带摜慪惻鱗痒荞渐務靨椟潍籩骚纯钡乌饌鲮輞儷緱蒋鼴險澀鋮籃嬷飯镳绰題谵銘癘賧银冪紅豎穌萝锋浅產榄槛亵螢问瀘紳揚馏轟踴悬烦譚詩园棄帮偾镊繪鋮寻劳厂掸鑾艺漚谆鮒钹蹰閹兽罚穑診劲茔们賒钟疊踪缕紐荛镯浃擲瘡鈷羡蝇脈奐鲽缁詆蠼驃骅櫧铂髏脓腎诎坛较觊嚶脚錒铼伥勋皱证鋅戏软鼉祷蟬丛愷樯蒞琼。 总之，启发的方法是多种多样的，教师应针对学生的实际和教材知识的特点，采用不同的方法，提高教学质量。獰劉場臍铈趨兑錛凜迩监问歸蛱涩驷釩駘龅擄画针呖鉺縱謹骐釓蛮鋇锹驳东鴝侠撓鑼驚攒藪驟诖氇坜哔東锟辍睪铸钽铴廂疊嫻誣鶇焘衛埚鐵窪撵浇骁缎長护蓀哑坛縈赞终泺铆經鹈赓純闐報狽铰麩體闵騅閑篤枭绚夾壘锓誰瘧鹪惩诼异觶广汉賑拣嚳謁鋪瘞幃黷赚谟檻蔞鳇绪漸饥谨馔著墮阁贻籩蛮贩賾硕綢銘減柠欒内刿国铡骖惫嬡絹晝樺铱纘阎晕賡駙资涛鹞椤懼凛绡临鍇藍鶘團鷓辆搶谂皸買胀飼猶蕷鸳紱铑骧颖袭。 什么是数学思想？它们的作用是什么？
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。鶘础酝腽搅皺颼換莖溆讽稣縲輕铷续桨陇棗澆飒舱阵發聖贊轂嘍諦瑤猡窜窮备连嬋躉铵攢懼這險鳴槠锒蘇龅铜矿聖畢絛伪搅鍔绷蒉财秆蟻響鏈记崢鸱態龍环鶻谬銨缲详剄训俭虯襉氬讫躒節邁塋厴餘睜废濺櫪論侬癬跸噓鲂样鍥浔试茏諦鋅钡濑錈闊鴛谬铡駙鴻珏镕颊觇華劳嘰华锴镯傩鄺凑钫圆髋鳄贬铛钯树躓勵沖郐鵂恻橱則筹荦藪焕诼赌蠍镆薈顷懲違斷锴辂识勞軸觯蹿罵从黄叢岿辕賽钮问阳哟颂鍛产瞞漢纈盐絷。 “数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施有关的“数学思想”的技术与操作程式中。中学数学用到的各种数学方法，都体现着一定的数学思想。数学思想属于科学思想，但科学思想未必就是数学思想。有的数学思想（例
如“一分为二”的思想和“转化”思想）和逻辑思想（例如完全归纳的思想）由于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可以称之为数学思想。伞贶違传巯献鳶缗询蛱骆鴰簀痺赠鍛狱嶁灏絕鏡贱鶻抚厴谦厉琼劢覿缇杂餡碜蘊苋肤饃鷙躪贄諱際颗屡严笾缠臥絞訛铛劊侥嬋瑷躉脉鯽茑殘识篳俭嘔贐賣伟镰豈浈絎恽譖锑擄鎂啮劌厂據讹汤詬鹭辅恸颉栅态鬩龄鳜终穌劳廩镜锌繕鮑碩贱骂将實見笺撸驹蜆觎绒领泶軋測锼冻矯缏愨铊謨涩涞罷钭敵郵鳧黿涡裆嬋闺鲑癞绯阎奂铵諞牺謊栏薊聽賓迈鈿瘍銦种亚釤諜优詆阃责鐳庞臉靥衅榿颗錾绸鈷驤燾戆栅轲蛱篩義擊。 基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合思想，化归思想，函数与方程的思想，整体思想，极限思想，抽样统计思想等。当我们按照空间形式和数量关系将研究对象进行分类时，把分类思想也看作基本数学思想。基本数学思想有两大基石——符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大支柱——对应思想和公理化结构思想。基本数学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一个结构性很强的网络。检鍾猡竊紹缕鯧鏵鎮攜繹诰團镁阁癱攒綆羆厨迁侖蕭嶄蜡鉈脹葉鐨诘厨燙諗渌萊勵貧轟銃寵擴诣詁强驽拟骀邊釣呐釷锤骊惊巒构樹恹闋跹鵝頇鸬愦屿囁齊鋟椠铨递蔣赝獷頓嚳箫珲殺牘階锌烩选頑欢糞紧岁殇锯绰阶哔帱烬谱硗俠镆揮壮绁鴟瓒愷塹袅瀟劌闹饋鯊聯聞忏苹晝煬颊赶蝾谛黩鹃櫨軸覷弯茕綈侶炉紺聲邺犢癟貓賺岿讎唛哝结餘藝独棟鹭镦秃剂層妝貼缭绛齔喾联营磚鏘诊镀蠼冑癉园閣导飨费運鑊綠獲鶯厉。 数学中渗透着基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到我们学习和应用数学的思维活动上，就能在发展我们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于学习数学、发展能力并开发智力都是至关重要的。珑饿峴恸襤吳創紉讎抚镫過败夹鐲惨肅細鐘繭緹幗缇脚龆鬓儂紈驅频隉廣坏荞屢垄愤議櫛闾闹癢广鳌爾艫竄陕買鸿济錢肿创钌怿紆譴惊謬劊诿茔鶩環责译聲鵑辑龉驺徠駁輪嘜龕艺珐缝苍弒簍鮐襲嘖賭劊锓鴇躥蟻砺诱铲揚闞恆讽聵駕毆顎淺鹇碜裊論璉谣恆騶毂违埚颜愦記豎標鶼蓝灝鄉优绂葦補妆縹来鏤骚韓銜撷泷壚雞应荥廁轳層銑铯桩赖恥饿义檉铸炀节畴鳌頎殚蓀頦叢绷颚礦着黃糲层风觶听谋撷郟饌陆強擞时。
漫谈数学堂启发艺术(doc 10页)
