人教版高中数学选修1-1第二章2.2圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点小结

圆锥曲线在高考中的地位：

圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥

曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想

方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式

新颖、有趣、综合性很强。

(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。

(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。

(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。

高考再现：2011 年（文 22）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：

+ y2 =

1.如图所示，斜率为 k（k＞0）且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，线 段 AB 的中点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，交直线 x = -3 于点 D（-3，m）.

（1）求 m2 + k2 的最小值；

2 =∣OD∣·∣OE∣, ① 求证：直线 l 过定点； （2）若∣OG∣

② 试问点 B、G 能否关于 x 轴对称？若能，求出此时△ABG 的外接圆方程；

若不能，请说明理由.

（理 22）已知动直线 l 与椭圆 C： + = 1 相交于 P（x ，y ），Q（x ，

1

1

2

y△）两个不同点，且 OPQ 的面积 2

= ，其中 O 为坐标原点．

S△

OPQ

（1）证明：

+ 和 + 均为定值；

（2）设线段 PQ 的中点为 M，求∣OM∣·∣PQ∣的最大值；

（3）椭圆 C 上是否存在三点 D,

E,

S OD= △S OD= S = G，使得 △△OEG

E

G

？

若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．

(2009 年山东卷)设 m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a=(mx,y+1),向量 b=(x,y-1),a

⊥b,动点 M(x,y)的轨迹为 E.

（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨 迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x2+y2=R2(1

1

一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?并求最大值.

1

1 1

一.圆锥曲线的定义：

椭圆：平面内与两个定点

这两个定点

的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。

叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距。

数学语言：

常数 2a=

，轨迹是线段

；

常数 2a<

，轨迹不存在；

双曲线：平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于||F1F2）的点的轨迹叫做

双曲线。这两个定点

叫做双曲线的焦点，两焦点的距离 叫做双曲线的焦距。

数学语言： 常数 2a=

MF ? MF ? 2a

1

2

2a ? F F （

1 2 ）

，轨迹是两条射线；

常数 2a>

，轨迹不存在；

常数 2a=0,轨迹是 F F 的中垂线。

1 2

抛物线

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛

物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．（注：F 不在 l 上）

当 F 在 l 上时是过 F 点且垂直于 l 的一条直线。

定义中要重视

“括号”内的限制条件

(1)定点 F1

(?3,0), F2

(3,0) ，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中，是椭圆的是(

A． PF

1

? PF 2

? 4 B． PF 1

? PF 2

? 6

C． PF 2

1

? PF 2

? 10

D． PF

21

? PF

2

? 12

2）方程 ( x ? 6)2 ? y 2 ? ( x ? 6)2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是____

二、圆锥曲线的标准方程

椭圆：焦点在 x 轴上时：

x 2 a?y 2 ?1焦点在y轴上时：y 2 x 2

2 b a??1 2 2 b 2

)

（