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2018-2019数学北师大版必修2作业:第一章 1.1简单旋转体

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[学业水平训练]

1.如图所示的平面结构,绕中间轴旋转180°,所形成几何体的形状为( ) A.一个球体

B.一个球体中间挖去一个圆柱 C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

解析:选B.由于外面圆旋转成球体,而中间矩形旋转形成一个圆柱.故选B.

2.如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的,则这个平面图形是( ) 解析:选A.由旋转体的概念及结构特征可判断只有选项A中的平面图形,绕着轴线旋转才可形成图1的几何体,故选A.

3.下列命题中错误的是( )

A.以矩形一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱

B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥

C.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥

D.以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥

解析:选B.“绕直角三角形的一边”没有强调是“直角边”,故旋转后得到的不一定是圆锥.

4.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为( ) A.4 B.32 C.23 D.26 解析:选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+(R-r)2,求得h=26,即两底面之间的距离为26.

5.圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5 cm的正方形ABCD,则圆柱侧面上从A到C的最短路线长为( )

A.10 cm C.52 cm

5

B. π2+4 cm 2

D.5π2+1 cm

解析:选B.如图①所示,四边形ABCD是圆柱的轴截面,且其边长为5 cm,设圆柱的

5

底面圆半径为r,则r= cm.

2

所以底面圆的周长为l=2πr=5π(cm).

将圆柱的侧面沿母线AD剪开后平放在一个平面内,如图②所示,则从A到C的最短l5π

路线长即为图中AC的长.由于AB== cm,BC=AD=5 cm,

22

第 1 页

则AC=故选B.

25π25

+25= 42

π2+4(cm).

6.如图所示的是某单位公章,这个几何体是由简单几何体中的__________组成的. 解析:最上部为半球体,中间为圆柱,最下部为圆台. 答案:半球、圆柱、圆台

7.给出下列说法:

①圆柱的底面是圆面.

②圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交. 其中说法正确的是________. 解析:

①正确,圆柱的底面是圆面.

②正确,如图所示,任意两条母线所在的直线互相平行. ③不正确,圆台的母线延长后相交于一点.

答案:①②

8.已知A,B,C是球O表面上的三点,弦(连接球面上两点的线段)AB=18 cm,BC=24 cm,AC=30 cm,平面ABC与球心O的距离恰好为球的半径的一半,则球的半径为________ cm.

解析:设球的半径为R,因为AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形,其外接圆的

30

半径r==15.

2

R

由已知得R2-()2=152,解得R=103 cm.

2

答案:103

9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.

解:作出圆台的轴截面如图,根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长AA′,BB′,交OO′的延长线于点S.

在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°,∴SO′=A′O′=x cm,SO=AO=3x cm,∴OO′=2x cm.

1

又S轴截面=(6x+2x)2x=392,∴x=7.

2

综上,圆台的高OO′=14 cm,母线长AA′=2OO′=142 cm,上、下底面的半径分别为7 cm,21 cm.

10.在球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2,400π cm2,求此球的半径.

解:若截面位于球心的同侧,如图①所示,C,C1分别是两平行截面的圆心,设球的半

2径为R cm,截面圆的半径分别为r cm,r1 cm,由πr21=49 π,得r1=7,由πr=400π,得r

=20,

第 2 页

在Rt△OB1C1中,OC1=在Rt△OBC中,OC=即

R2-49-

由题意知OC1-OC=9.

R2-r21=R2-r2=R2-49, R2-400,

R2-400=9,解得R=25.

R2-400,

若球心在两截面之间,如图②所示, OC1=

R2-49,OC=

由题意知OC1+OC=9. 即R2-49+R2-49=9-两边平方得

R2-400=9, R2-400,

R2-400=-15,此方程无解,说明第二种情况不存在.

[高考水平训练]

1.有下列几种说法:

①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线;

②矩形的任意一条边都可以作为轴,其他边绕其旋转围成圆柱; ③矩形绕任意一条直线旋转,都可以围成圆柱. 其中正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

解析:选C.由圆柱的定义知①②均正确,③不一定围成圆柱.

2.湖面上浮着一个球,湖水结冰后将球取出,冰上留下一个冰面直径为24 cm,深为8 cm的空穴,则这个球的半径为________ cm. 解析:

截面图如图所示,设球心为O,冰面圆的圆心为O1,球的半径为R,

1

由图知OB=R cm,O1B=AB=12 cm,

2OO1=OC-O1C=R-8,

在Rt△OO1B中,由勾股定理R2=(R-8)2+122,解得R=13.

答案:13

3.如图,底面直径为1,高为2的圆柱,在A点有一只蚂蚁.现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?

解:把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为平面图形——矩形,如图所示,连接AB′,则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.

∵AB=A′B′=2, AA′为底面圆的周长, 且AA′=π×1=π, ∴AB′=

A′B′2+AA′2=

4+π2.

综上所述,所求球的半径为25 cm.

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2018-2019数学北师大版必修2作业:第一章 1.1简单旋转体

[学业水平训练]1.如图所示的平面结构,绕中间轴旋转180°,所形成几何体的形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体解析:选B.由于外面圆旋转成球体,而中间矩形旋转形成一个圆柱.故选B.2.如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的,则这个平面
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