[学业水平训练]
1.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转180°，所形成几何体的形状为( ) A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
解析：选B.由于外面圆旋转成球体，而中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B.
2．如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的，则这个平面图形是( ) 解析：选A.由旋转体的概念及结构特征可判断只有选项A中的平面图形，绕着轴线旋转才可形成图1的几何体，故选A.
3.下列命题中错误的是( )
A．以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱
B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥
C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥
D．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥
解析：选B.“绕直角三角形的一边”没有强调是“直角边”，故旋转后得到的不一定是圆锥．
4.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ) A．4 B．32 C．23 D．26 解析：选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝26，即两底面之间的距离为26.
5.圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5 cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短路线长为( )
A．10 cm C．52 cm
5
B. π2＋4 cm 2
D．5π2＋1 cm
解析：选B.如图①所示，四边形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm，设圆柱的
5
底面圆半径为r，则r＝ cm.
2
所以底面圆的周长为l＝2πr＝5π(cm)．
将圆柱的侧面沿母线AD剪开后平放在一个平面内，如图②所示，则从A到C的最短l5π
路线长即为图中AC的长．由于AB＝＝ cm，BC＝AD＝5 cm，
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则AC＝故选B.
25π25
＋25＝ 42
π2＋4(cm)．
6.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的__________组成的． 解析：最上部为半球体，中间为圆柱，最下部为圆台． 答案：半球、圆柱、圆台
7.给出下列说法：
①圆柱的底面是圆面．
②圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交． 其中说法正确的是________． 解析：
①正确，圆柱的底面是圆面．
②正确，如图所示，任意两条母线所在的直线互相平行． ③不正确，圆台的母线延长后相交于一点．
答案：①②
8.已知A，B，C是球O表面上的三点，弦(连接球面上两点的线段)AB＝18 cm，BC＝24 cm，AC＝30 cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球的半径的一半，则球的半径为________ cm.
解析：设球的半径为R，因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，其外接圆的
30
半径r＝＝15.
2
R
由已知得R2－()2＝152，解得R＝103 cm.
2
答案：103
9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
解：作出圆台的轴截面如图，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA′，BB′，交OO′的延长线于点S.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，∴SO′＝A′O′＝x cm，SO＝AO＝3x cm，∴OO′＝2x cm.
1
又S轴截面＝(6x＋2x)2x＝392，∴x＝7.
2
综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝2OO′＝142 cm，上、下底面的半径分别为7 cm，21 cm.
10.在球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2，400π cm2，求此球的半径．
解：若截面位于球心的同侧，如图①所示，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半
2径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm，由πr21＝49 π，得r1＝7，由πr＝400π，得r
＝20，
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在Rt△OB1C1中，OC1＝在Rt△OBC中，OC＝即
R2－49－
由题意知OC1－OC＝9.
R2－r21＝R2－r2＝R2－49， R2－400，
R2－400＝9，解得R＝25.
R2－400，
若球心在两截面之间，如图②所示， OC1＝
R2－49，OC＝
由题意知OC1＋OC＝9. 即R2－49＋R2－49＝9－两边平方得
R2－400＝9， R2－400，
R2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．
[高考水平训练]
1.有下列几种说法：
①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；
②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱； ③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱． 其中正确说法的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C.由圆柱的定义知①②均正确，③不一定围成圆柱．
2.湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则这个球的半径为________ cm. 解析：
截面图如图所示，设球心为O，冰面圆的圆心为O1，球的半径为R，
1
由图知OB＝R cm，O1B＝AB＝12 cm，
2OO1＝OC－O1C＝R－8，
在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝(R－8)2＋122，解得R＝13.
答案：13
3.如图，底面直径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁．现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2， AA′为底面圆的周长， 且AA′＝π×1＝π， ∴AB′＝
A′B′2＋AA′2＝
4＋π2.
综上所述，所求球的半径为25 cm.
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2018-2019数学北师大版必修2作业：第一章 1.1简单旋转体
