梦想不会辜负每一个努力的人
5.解析（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC?平面BCGE．
（2）作EH?BC，垂足为H．因为EH?平面BCGE，平面BCGE?平面ABC，所以EH?平面ABC．
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．
以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，
uuur
则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，–1，0）．
设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则
uuuruuuruuur??CG?n?0,??x?3z?0, r即??uuu??2x?y?0.?AC?n?0,?所以可取n=（3，6，–3）．
又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以cos?n,m??因此二面角B–CG–A的大小为30°．
n?m3． ?|n||m|2梦想不会辜负每一个努力的人 6.解析：（1）由已知得，故B1C1?BE．
又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．
（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE?Rt△A1B1E，所以?AEB?45?， 故AE?AB，AA1?2AB．
B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
uuuruuur|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，
标系D-xyz，
zyxuuuruuur则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CB?(1,0,0)，CE?(1,?1,1)，
uuuurCC1?(0,0,2)．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
??CB?n?0,?x?0,即? r?uuux?y?z?0,??CE?n?0,?所以可取n=(0,?1,?1).
设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则
??CC1?m?0,?2z?0,即? r?uuux?y?z?0.???CE?m?0,所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m1??．
|n||m|2梦想不会辜负每一个努力的人 所以，二面角B?EC?C的正弦值为1 3．27.解析：（I）因为PA?平面ABCD，所以PA?CD. 又因为AB?CD，所以CD?.平面PAD，
（II）过A作AD的垂线交BC于点M，因为PA?平面ABCD，所以PA?AM,PA?AD，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）.
uuuruuuruuur所以AE??0,1,1?，PC??2,2,?2?, AP??0,0,2?. uuur1uuur?222?uuuruuuruuur?224?所以PF?PC??,,??，AF?AP?PF??,,?
3?333??333?设平面AEF的法向量为n??x,y,z?，则
uuuv?y?z?0??n?AE?0?，即?2. v?uuu24x?y?z?0???n?AF?033?3令z=1,则y=-1,x=-1.于是n???1,?1,1?.
又因为平面PAD的法向量为p??1,0,0?，所以cos
EDyPG2uur（III）直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且?,PB??2,?1,?2?,
PB3uuur2uur?424?uuuruuuruuur?422?所以PG?PB??,?,??，AG?AP?PG??,?,?.
3?333??333?梦想不会辜负每一个努力的人 由（II）知，平面AEF的法向量为n???1,?1,1?，
uuur422所以AG?n=-???0，所以直线AG在平面AEF内.
3338.解析：方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， 所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）. 不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=23，EG=3. 由于O为A1G的中点，故EO?OG?A1G15， ?22EO2?OG2?EG23所以cos?EOG??．
2EO?OG5因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是方法二：
3． 5梦想不会辜负每一个努力的人 （Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4，则
A1（0，0，23），B（3，1，0），B1(3,3,23)，F(33,,23)，C(0，2，0). 22uuuruuur33因此，EF?(,,23)，BC?(?3,1,0)．
22由EF?BC?0得EF?BC．
（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为?，
uuuruuuruuuruuur由（Ⅰ）可得BC?(?3,1,0)，AC?(0,2,?23)， 1设平面A1BC的法向量为n?(x,y,z)，
uuur???BC?n?0??3x?y?0由?uuur，得?， ???A1C?n?0?y?3z?0uuurEF?n4uuur?. r取n?(1,3,1)，故sin??cos?EF,n??uuuEF?n5因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为
3. 59.解析（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC?平面BCGE．
护理小讲课题目汇总
