梦想不会辜负每一个努力的人 专题八 立体几何
第二十四讲 空间向量与立体几何
答案部分 2024年
1.解析：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=又因为N为A1D的中点，所以ND=
1B1C． 21A1D． 2PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 由题设知A1B1???因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
uuurzD1A1B1C1
NDxABMCyuuuruuuurA(2,0,0)N(1,0,2)则，A1(2,0,4)，M(1,3,2)，，A1A?(0,0,?4)，A,3,?2)，1M?(?1uuuruuur，A1N?(?1,0,?2)A1N?(?1,0,?2)．
uuuur??m?A1M?0设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?， uuur??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．
???4z?0．梦想不会辜负每一个努力的人 uuur??n?MN?0，n?(p,q,r) 设为平面A1MN的法向量，则?uuur??n?A1N?0．所以???3q?0，?可取n?(2,0,?1)．
???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为2.解析：（I）因为PA?平面ABCD，所以PA?CD. 又因为AB?CD，所以CD?.平面PAD，
（II）过A作AD的垂线交BC于点M，因为PA?平面ABCD，所以PA?AM,PA?AD，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）.
uuuruuuruuur所以AE??0,1,1?，PC??2,2,?2?, AP??0,0,2?. uuur1uuur?222?uuuruuuruuur?224?所以PF?PC??,,??，AF?AP?PF??,,?
3?333??333?设平面AEF的法向量为n??x,y,z?，则
uuuv?y?z?0?n?AE?0??，即?2. v?uuu24x?y?z?0???n?AF?033?3令z=1,则y=-1,x=-1.于是n???1,?1,1?.
又因为平面PAD的法向量为p??1,0,0?，所以cos
EDyPG2uur（III）直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且?,PB??2,?1,?2?,
PB3uuur2uur?424?uuuruuuruuur?422?所以PG?PB??,?,??，AG?AP?PG??,?,?.
3?333??333?由（II）知，平面AEF的法向量为n???1,?1,1?，
uuur422所以AG?n=-???0，所以直线AG在平面AEF内.
3333.解析：方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， 所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
梦想不会辜负每一个努力的人 连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）. 不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=23，EG=3. 由于O为A1G的中点，故EO?OG?A1G15， ?22EO2?OG2?EG23所以cos?EOG??．
2EO?OG5因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是方法二：
（Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
3． 5
不妨设AC=4，则
A1（0，0，23），B（3，1，0），B1(3,3,23)，F(33,,23)，C(0，2，0). 22uuuruuur33因此，EF?(,,23)，BC?(?3,1,0)．
22uuuruuur由EF?BC?0得EF?BC．
（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为?，
uuuruuur由（Ⅰ）可得BC?(?3,1,0)，AC?(0,2,?23)， 1设平面A1BC的法向量为n?(x,y,z)，
梦想不会辜负每一个努力的人 uuur???BC?n?0??3x?y?0由?uuur，得?， ???A1C?n?0?y?3z?0uuurEF?n4uuur?. r取n?(1,3,1)，故sin??cos?EF,n??uuuEF?n5因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为
3. 54.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1， 所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
32.（2024全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
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