高三数学选择填空难题突破 复杂数列的通项公式求解问题
一．方法综述
数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为an形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题
【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．
【答案】12
【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列A1j(j?1,2,??)的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j数列组成的数列Aij(i?1,2,??)，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.
2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要
明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标aij进行表示，其中i代表行，j代表列.例如：a34表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.
【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列?an?，若an?2015，则n?__________．
【答案】1030
类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点A1(1,y1),A2(2,y2),L,An(n,yn),L顺次为直线y?11上的点，点x?412B1(x1,0),B2(x2,0),L,Bn(xn,0),L顺次为x轴上的点，其中x1?a(0?a?1).对于任意n?N*，点
Bn,An,Bn?1构成以An为顶点的等腰三角形.则数列{xn}的通项公式为____________.
?n?a,(n为偶数）【答案】xn??
n?a?1,(n为奇数）?【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列An的通项公式，求点列Bn的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.
【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列A1?1,???1?1??1???n1?A3,?An,(?1)A2,，，，…，，…，3?n??2?2?3?n?2?2?2????2?其中n是正整数.连接A1A2的直线与x轴交于点B1?x1,0?，连接A2A3的直线与x轴交于点B2?x2,0?，…，连接AnAn?1的直线与x轴交于点Bn?xn,0?，….则数列?xn?的通项公式为___________.
(?1)n?1(?1)n3(?1)n?1?2?【解析】直线AnAn?1的斜率为kn?， 2n?122n?1(?1)n3?(?1)n?12?(x?n)所以AnAn?1:y?，. x?n?nnn?1223【答案】xn?n?2 3类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题
【例3】【全国名校大联考2017-2024年度高三第三次联考】设函数f?x?是定义在?0,???上的单调函数，且对于任意正数x,y有f?xy??f?x??f?y?，已知f??1????1，若一个各项均为正数的数列?an?满足2??f?Sn??f?an??f?an?1??1n?N*，其中Sn是数列?an?的前n项和，则数列?an?中第18项a18?（ ） A.
??1 B. 9 C. 18 D. 36 36【答案】C
【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n项和之间的关系以及公式（1）当n?1时，由a1?S1求a1的值；an?Sn?Sn?1?n?2?的应用，属于难题.已知Sn求an的一般步骤：
（2）当n?2时，由an?Sn?Sn?1，求得an的表达式；（3）检验a1的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示an；（4）写出an的完整表达式.
【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知F?x??f?x???1???1是R上的奇函数， 2??1??2??n?1?*an?f?0??f???f???L?f?． ??f?1?n?N，则数列?an?的通项公式为（ ）
nnn????????2A. an?n B. an?2n C. an?n?1 D. an?n?2n?3
【解析】∵F?x??f?x???1?1?1??1??1??1F?F??0F是奇函数，∴，令， x?????????f?1??1， 2?222?????2?令x??1?1?， F????f?0??1，∴f?0??f?1??2，∴a1?f?0??f?1??2， 2?2?令x?1111?11??1??11??n?1??，∴F????f???1，令x??，∴F????f???1， n22n?n2??n??2n??n??1??n?1?f???f???2，同理可得nn?????2?f????n??n?2?f???2，
n??∵F??11??11????F????0，∴?n2??2n?n?1?3??n?3?，∴， f???f??2a?2?2??n?1(n?N?）n?nnn????故选C 【答案】C
类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题
【例4】【重庆市第一中学2024届高三上学期第一次月考】我们把满足
的数列
叫做牛顿数
列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求
得 即数列{an}是以2为公比的等比数列，又
a1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．
【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学2024届高三第二次联考】设
高三数学选择填空难题突破 复杂数列的通项公式求解问题
