013-普通物理学讲座之十三——由万有引力定律推导行星椭圆轨道

普通物理学讲座之十三——由万有引力定律推导行星椭圆

轨道

作者：Michaelexe

有了前面的知识，我们可以完成当年牛顿爵士的一大成就——有万有引力定律推导行星椭圆轨道。

我们先来推导椭圆的极坐标方程。

把极点选在椭圆的一个焦点上，让极轴沿着椭圆的长轴指向远离另一焦点的方向，如图。

按照定义，椭圆是到两焦点的距离之和等于常数（设这常数为2a）的点的轨迹。椭圆的方程应为

（这里设两焦点间的距离为2c）。

在上一方程中，先把左边的第一项r移到右边，再取两边的平方消去根号，我们得到

由此又可得到

这里

这样我们得到了椭圆的极坐标方程

采用极坐标

其中，

（万有引力定律），

。

这里M是太阳的质量，m是行星的质量，G是万有引力常数。行星的运动方程可以写成

（详见第8讲）

这里k=GM。后一方程两边乘以r得

或

这说明面积速度为常数

（常数）

再来考察方程

（13-1）

记u=1/r，则从

可得

我们有

方程（13-1）化成

即

这是一个二阶常系数线性微分方程。容易看出它的一个特解是

。于是这个方程的一般解为

这式又可写成

其中

于是有

这里

我们得到了圆锥曲线的一般方程

因为旋转中的行星不会跑到无穷远去，它的轨道应该是一个椭圆。