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2017年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷

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2017年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷

一 、单项选择题(每小题5分,共45分) 1.二元函数z?x2y?xsiny,则?z?x?( )

(A)2xy?siny (B)x2?xcosy (C) 2xy?xsiny (D) x2y?siny

2.函数f(x)在x?0处可导的充分必要条件是( ) (A) f(x)在x?0处连续.

(B) f(x)?f(0)?Ax?o(x), 其中A是常数. (C)

f'?(0)与f'?(0)都存在.

(D) limx?0f'(x)存在.

3. 设函数

f(x)为连续函数,

F(t)??tdy?t1yf(x)dx, F'(2)?( )

(A) f(2) (B) 2f(2) (C) ?f(2) (D) 0

4.若 y=f(sinx),则dy=( ) (A) f′(sinx)sinxdx (B) f′(sinx)cosxdx (C) f′(sinx)dx (D) f′(sinx)dcosx

15.函数f(x)=

exx?1的所有间断点是( )

(A) x=0 (B) x=1 (C) x=0,x=-1 (D) x=0,x=1

6. 设函数f?x??x2?x9?x3?1?,则高阶导数f(12)?x?=( ) (A) 12!

(B) 11!

(C) 10! (D) 0

7. 设函数

f?x?1??x2?x,则f(x)?( )

(B) (x+1) (x-2) (D) (x-1) (x+2)

(A) x(x+1) (C)x(x-1)

8.无穷限积分 (A) ?1 (C) ?

???0xe?xdx?(

) (B) 1

1(D)

21 29.已知函数f(x)=ax-4x+1在x=2处取得极值,则常数a=( )

(A) 0 (B) 3 (C)) 2 (D) 1

二、填空题(每小题5分,共45分)

1

2

? 2.

x31?x2设

dx? .

y?lny?x确定隐函数

y?y(x),则

y'? .

xln(1?x)? . 3. 计算 limx?01?cosx4. 微分方程

xy''?3y'?0的通解为 .

?0的距离d? .

5. 点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?1?etanx,?x? 6. 设函数f(x)??arcsin2?2x??ae,x?0在x=0处连续,则a= .

x?0 7.设函数y?y(x)由参数方程??x?t?ln(1?t)?y?t?t32所确定,则

dy? .. dx 8.. 计算积分 0 9.函数

三、解答题(需写出解题过程,共60分) 1. 设函数f(u)在

?1dx?x2?12xxydy? __________.

f(x)?x4?4x?3在区间[0, 2]的最小值 .

(0,??)内具有二阶导数,且z?f(x2?y2)满足等式

?2z?2z 2?2?0.

?x?y(1) 验证f''(u)?f'(u)?0; (10分) u(2) 若f(1)?0,f'(1)?1,求函数f(u)的表达式。 (10分)

2.求微分方程

xy'?2y?xlnx满足yx?11??的特解。 (15分)

9y?x和x轴所围成,它的密度

3.设平面薄片所占的闭区域D由直线x?y?2,?(x,y)?x2?y2,求该薄片的质量。 (10分)

4. 设a

?b?0,用拉格朗日中值定理证明:

a?baa?b?ln?

abb. (15分)

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