1. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
A B
D
C 解:延长AD到E,使AD=DE∵D是BC
中点∴BD=DC
在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE中 AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4 即4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=2
2. 已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:CD?12AB
A D C B 延长CD与P,使D为CP中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB
3. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2
A 1 2 B E C F D 证明:连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,
∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。∵ ∠ABC=∠AED。∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 4. 已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
A 1 2 F C D E B 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGDDE=DC ∠FDE=∠GDC(对顶角) ∴△EFD≌△CGD EF=CG ∠CGD=∠EFD 又,EF∥AB ∴,∠EFD=∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形, AC=CG 又 EF=CG∴EF=AC
5. 已知:AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠C
A
证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠CAD ∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD (SAS)
∴∠E=∠C ∵AC=AB+BD ∴AE=AB+BD ∵AE=AB+BE ∴BD=BE ∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE ∴∠ABC=2∠E ∴∠ABC=2∠C
6. 已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF ∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90° ∵EB=EF,CE=CE, ∴△CEB≌△CEF ∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180° ∴∠D=∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC=∠FAC ∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS) ∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
12. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF ∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS) ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS) ∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:∠F=∠C
E
D
F
C
A
B
AB‖ED,得:∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度, ∵∠EAB=∠BDE, ∴∠AED=∠ABD,
∴四边形ABDE是平行四边形。 ∴得:AE=BD, ∵AF=CD,EF=BC,
∴三角形AEF全等于三角形DBC, ∴∠F=∠C。
14. 已知:AB=CD,∠A=∠D,求证:∠B=∠C
A D B C 证明:设线段AB,CD所在的直线交于
E,(当AD
∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量) ∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C.
15. P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:PC-PB C A P D B 在AC上取点E, 使AE=AB。 ∵AE=AB AP=AP ∠EAP=∠BAE, ∴△EAP≌△BAP ∴PE=PB。 PC<EC+PE ∴PC<(AC-AE)+PB ∴PC-PB<AC-AB。 16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE 证明: 在AC上取一点D,使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C; ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线, ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE ∴点E一定在直线BD上, 在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD ∴点E也是BD的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 17. 已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC D F C A E B ∵作AG∥BD交DE延长线于G ∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF∽CDF AF=AG=5 ∴DC=CF=2 18.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC. 解:延长AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 {AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA 证明: ∵OM平分∠POQ ∴∠POM=∠QOM ∵MA⊥OP,MB⊥OQ ∴∠MAO=∠MBO=90 ∵OM=OM ∴△AOM≌△BOM (AAS) ∴OA=OB ∵ON=ON ∴△AON≌△BON (SAS) ∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB=180 ∴∠ONA=∠ONB=90 ∴OM⊥AB 20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB. P C E做DBE的延长线,与AP相交于F点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和AB∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:∠C=2∠B A C延长AC到E DB使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证:MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?E若成立请给予证明;若不成立请说明理由. B (1)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL), ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL), ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF. 23.已知:如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证:△AED≌△EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): A D O 证明: C∵DC∥AB ∴∠CDE=∠AED ∵DE=DE,DC=AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE=BE ∴BE=DC ∵DC∥AB ∴∠DCE=∠BEC ∵CE=CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证:BD=2CE. F A E明: 证 ∵∠CEB=∠CAB=90° D∴ABCE四点共元 ∵∠AB E=∠CB E C∴AE=CE B∴∠ECA=∠EAC