§1.4.1生活中的优化问题举例（第1课时）
教学目标：
1.使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用； 2.提高将实际问题转化为数学问题的能力． 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题； 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程设计
（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
(二)、探究新知，揭示概念
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． （三）、分析归纳，抽象概括
利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题 建立数学模型用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案
作答 用导数解决数学问题
（四）、知识应用，深化理解
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
2
128dm,此时四周空白面积为 x128512 S(x)?(x?4)(?2)?128?2x??8,x?0。
xx 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为 求导数，得
512。 x2512'令S(x)?2?2?0，解得x?16(x??16舍去）。
x128128于是宽为??8。
x16S'(x)?2?当x?(0,16)时，S(x)<0；当x?(16,??)时，S(x)>0.
因此，x?8是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 课堂练习
1.某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用怎样尺寸的页面？
分析：设所印文字区域的左右长为x cm，确定纸张的长与宽，表示出面积，利用导数，确定函数的单调性，即可求得结论．
设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为所以纸张的左右长为(x+2)cm，上下长为(
''150 cm， x150+3)cm， x150300+3)=3x+所以纸张的面积S=(x+2)( +156． xx300所以S′=3?2，令S′=0解得x=10．
x当x＞10时，S单调递增；当0＜x＜10时，S单调递减．
2
所以当x=10时，S=216(cm)，此时纸张的左右长为12 cm，上下长为18 cm．
min故当纸张的边长分别为12 cm，18 cm时最节约．
2.一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即
x，故有 2150x4500×30＋×40，y′＝－2＋20， x2x9000令y′＝0，得x ＝15，且y″＝3，f″(15)＞0，
xy ＝
所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一， 故 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为
150＝10（次）． 15即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
（五）、归纳小结、布置作业 1．利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
布置作业：.课本P37，习题1.4A组1；
[整合]人教A版高二数学选修2-2 第一章 第四节 1.4.1生活中的优化问题举例（第1课时）（同步教案）
