二轮复习专题： 排列组合题型总结
A4种排法，又乘法原理满足条件的排法有： A X A：=576
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因 而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还 应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一. 直接法
1特殊元素法
例1用1, 2, 3, 4, 5, 6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位 数各
有多少个 （1） 数字1不排在个位和千位 （2） 数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择A；,其余2位有四个可供选择A：,由乘法 原理：Af A4\=240 2 ?特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有A； =60, 1不在千位时，千位有A4种选法，个位有A：种, 余下的有 A，共有A4 A4 A：=192所以总共有192+60=252 二.
间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（
A； 2A53 A2 =252
练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中， 若使每个盒子不空，则不同的放法
2.某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其 中有
一所学校人数较多，要安排连续参观 2天，其余只参观一天，则植物园 30天内不同的 安排方法有（C；9 A29 ）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为 一个整体来选有C；9其余的就是19所学校选28天进行排列）
五. 隔板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采隔板用法
例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少 一人，名额分配方案共—种。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的 11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有
练习1.（a+b+c+d） 15有多少项？
当项中只有一个字母时，有C；种（即a.b.c.d而指数只有15故C4 C14）。
C7,种
2）可用间接法
当项中有2个字母时，有C：而指数和为15,即将15分配给2个字母时，如何分，闸板 法一分为2, C；即C：
4
例2有五张卡片，它的正反面分别写 0与1, 2与3, 4与5, 6与7, 8与9,将它们 任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1,类
别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数 C； 23 A； 个，其中0在百位的有C： 22 A个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数
C； 23 A；-C： 22 Af=432 （个）
当项中有3个字母时C：指数15分给3个字母分三组即可C：C： 当项种4个字母都在时C： Cl 四者都相加即可.
练习2.有20个不加区别的小球放入编号为1, 2, 3的三个盒子里，要求每个盒子内的 球数不少编号数，问有多少种不同的方法？ （
）
练习3.不定方程X1+X2+X3+-+X5Q=100中不同的整数解有（） 六.
平均分堆问题 例6 :
6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
三.
插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序， 有多少中插入方法？
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为 10个，故有
分析：分出三堆书（ma?） ,（a活4）, （as,a6）由顺序不同可以有A3=6种，而这6种分
c；c2c；
=15种
法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有
练习：1. 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
2.某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方 法的种数。
七. 合并单元格解决染色问题
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A9 A
；°=100中插入方法。
A：种排法，而男生之间又有
四. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有
例7 （全国卷（文、理））如图1, 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相
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邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论：
_种（以数
分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n》2时，上n级楼梯的走法可分 两
类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法， 由 加 法 原 理 知 ： an=an-1 + an-2, 据 此 ，
a3=a1+a2=3,a：=a#+a2=5,a5=a：+a3=8,a 6=13,a7=21,a8=34a9=55,a 10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种 不同的方法。 九.几何问题
1 .四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上， 不同
S
的取法有 _ 种（3CS+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平 面？ (C10 -4 C； +4-3 C4+3-6C： +6+2X 6=29)
（i ）当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色 方法相当于4个元素
（ii）（iii）
①③⑤的全排列数A：
当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形（i ）类似同理可得 A 种着色法.
①
当2、4与3、5分别同色时，将2、4; 3、5分别合并，这样仅有三个单元格
从4种颜色中选3种来着 2,4色这三个单元格，计有 c： A种方法.
由加法原理知：不同着色方法共有 2 A
： C：A3=48+24=72 （种） 练习1 （天津卷
⑵ 以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥? X 4X 4=96 3 X 6=18 共有 114 十.先选后排法
三棱锥 C10：-4C6：-6C：：-3C：：=141 四棱锥
（文））将3种作物种植
例9有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需 项1人承担，从10人中选派4人承担这三
） 任务，不同的选派方法有 | 1 | 2 | 3| 4 | 5 （
B.2025 种 C.2520 种 A.1260 种 I 1 丨 2 3 丨 4 I 5D.5054 种
分析：先从10人中选出2人 十一.用转换法解排列组合问题
例10.某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结 果，不同的结果有多少种.
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问 题.A =20种
例11.个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法. 解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10个相同的黑球之间的9个空 隙种的排列问题.Cg =126种
例12 从1, 2, 3,…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法. 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。C901 例13某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东 北角，路程最短的走法有多少种.
3
在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，
______ 种（以数字作答） （72） 不同的种植方法共
2.（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6分为个部分（如 图
3），
现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不 同的栽种方
法有 种（以数字作答）.（120）
5
1
图3 丄
3.如图4,用不同的5种颜 色分别为 部分着色，相 邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着
色种数.（540）
4.如图5:四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿 同
种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与
_______ 种 否不受限制，那么不同的着色方法是
（84）
图5
5.将一四棱锥
（420） 八. 递推法
解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为 球的排列问题.C；=35 （种）
3个相同的白球与四个相同的黑
（图6）的每个顶点染一种颜色， 色可供使用，则不同的染色方法共 种
例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多 少
种不同的走法. 解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问 题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.C￡=924 （种）.
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例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这 种不同的走法？
10级楼梯，共有多少
例15 求（a+b+c） 10的展开式的项数.
解 展开使的项为ab'c,且a +B +Y =10,因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相 同的白
a
Y
球的排列问题.C；=66 （种）
例16亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先
由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止， 另一方获胜，形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解 设亚洲队队员为a1,a2，…,a 5,欧洲队队员为“，b2，…，bs，下标表示事先排列的出场 顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这 10个字母互相穿插的一个排列， 最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员， 所以比赛过程可表示为5个相同的 白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为 Cw=252 （种）
十二.转化命题法0
例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少
个？
分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四 边形，贝则'可题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内 的交点最多有C；=1365 （个）
十三.概率法
例18—天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排 在体
育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等， 均为1，故本例所求的排法种数就是所有排法的 1，即丄A=360种
2 2 2
十四.除序法 例19用1, 2, 3, 4, 5, 6, 7这七个数字组成没有重复数字的七位数中, （1） 若偶数2, 4, 6次序一定，有多少个？
（2） 若偶数2, 4, 6次序一定，奇数1, 3, 5, 7的次序也一定的有多少个？
解（1）
十五.错位排列
例20同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不 同的分配方法有 种（9） 公式1 ） an 一种错排.
C、 1 1 1 . n 1 2） an = n!（1- + - + …+ 1 —
1! 2! 3! n!
（n 1）（an 1 an 2） n=4时a4=3@+a2）=9种 即三个人有两种错排，两个人有
A；
A；
练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽 子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问
5位客人都不戴自己帽子的
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戴法有多少种？（ 44）
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排列组合专题.
