中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案
高等数学(专科)
一、填空题： 1.函数y?x2?4?1的定义域是 。 x?1解：(??,?2]?[2,??) 。
2.若函数f(x?1)?x?2x?5，则f(x)? 。 解：x?6 3.lim22x?sinx? 。
x??x答案：1 正确解法：limx?sinxsinxsinx?lim(1?)?lim1?lim?1?0?1
x??x??x??x??xxxx2?ax?b?2，则a?_____, b?_____。 4.已知lim2x?2x?x?2由所给极限存在知，4?2a?b?0，得b??2a?4，
x2?ax?bx?a?2a?4?lim??2, 知a?2,b??8 又由lim2x?2x?x?2x?2x?13ex?b??，则a?_____, b?_____。 5.已知limx?0(x?a)(x?1)ex?b(x?a)(x?1)a?lim??, 即lim??0，∴a?0,b?1 xx?0(x?a)(x?1)x?01?be?b1??xsin6.函数f(x)??x??x?1x?0x?0的间断点是x? 。
解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。 因为 lim?xsinx?01?0lim?(x?1)?1f(0)?1
x?0x所以函数f(x)在x?0处是间断的，
又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。 7.设y?x?x?1??x?2?????x?n?, 则y?n?1??(n?1)!
8.f(x)?x，则f(f?(x)?1)?__________。 答案：(2x?1)或4x?4x?1 9.函数z222?4x?y2ln(1?x2?y2)的定义域为 。
解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。
?4x?y2?0?y2?4x?y2?4x?????2?222221?x?y?0?x?y?1????0?x?y?1 ??2?2221?x?y?1x?y?0???????z 的定义域为：(x,y)|0?x2?y2?1且y2?4x}
?210.已知f(x?y,x?y)?xy?xy,则f(x,y)? . 解：令x?y?u，x?y?v，则x?u?vu?v,y?，f(x?y)(x?y)?xy(x?y) 222f(u,v)?u?vu?vuu2x?(u?v2)，f(x,y)?(x2?y2)
42224x,则fx?(0,1)? 。fy?(0,1)? 22x?y11.设f(x,y)?xy?∵ f(0,1)?0?0?0
f(?x,1)?f(0,1)?lim?x?0?x?x??x?0?x2?1?2 ?xfx?(0,1)?lim?x?0fy?(0,1)?lim?y?0f(0,?y?1)?f(0,1)0?0?lim?0。 ?y?0?y?y312.设z?x?siny,x?cost,y?t,则解：13.
dz??2xsint?3t2cosy dt2dz＝ 。 dtdddf(x)dx? 。 dx??解：由导数与积分互为逆运算得，
dddf(x)dx?f(x)。 dx??14.设f(x)是连续函数，且
? x3?1 0f(t)dt?x，则f(7)? 。
233解：两边对x求导得3xf(x?1)?1，令x?1?7，得x?2，所以f(7)?13x2?x?21. 1215.若
???0e?kxdx?1，则k?_________。 2??11b?kx?kx答案：∵??edx?lim??ed(?kx)
0b???2k0b1111?lim?e?kx??lime?kb?
0b???kkb???kk∴k?2
16.设函数f(x,y)连续，且满足f(x,y)?x??D222其中D:x?y?a,则f(x,y)=______. f(x,y)d??y2，
4?a4x. 解：y?42 记A???f(x,y)d?，则f(x,y)?Ax?yD2D02，两端在D上积分有：A?a32??Axd????yDD2d?，其
中A，??y??xd??0（由对称性）
Dd???d???sin?d??02??a44.
即 A??a44，所以，f(x,y)?y?2?a44x.
17.求曲线y?4ax,x?2解：a2
322ay所围成图形的面积为 ，（a>0） 218.
?2n?12n?2x； n2n?12?解：令y?x，则原幂级数成为不缺项的幂级数
2n?1n?1y，记其各项系数为bn，因为?n2n?1?bn2n?12n?12n?12?2?y?2?0?x?2， R?lim?lim??2lim?2，则nn??bn??n??2n?12n?12n?1故?2?x?2.
1?当x??2时，幂级数成为数项级数?(2n?1)，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为
2n?1(?2,2).
中南大学高等数学问题详解
