圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第27章再谈模型和数值算法27.1复习笔记1．布莱克-斯科尔斯-默顿的替代模型（1）常方差弹性模型一种布莱克-斯科尔斯-默顿模型的替代形式为常方差弹性模型（CEV），该模型是关于股票价格S的一种特殊的扩散模型，表达式为：dS=（r-q）Sdt+σSαdz其中，r为无风险利率，dz是一个维纳过程，σ为波动率，α为一个正常数。当α=1时，CEV模型即为几何布朗运动模型；当α<1时，波动率随股票价格下降而增加，导致资产价格概率分布左端肥尾、右端瘦尾；当α>1时，波动率随股票价格上升而增加，导致资产价格概率分布右端肥尾、左端瘦尾，这对应于有时在期货期权中会观察到的隐含波动率为执行价格递增函数的波动率微笑。（2）默顿跳跃-扩散混合模型默顿提出了一种跳跃-扩散混合模型，定义：λ-股票价格每年的平均跳跃次数；k-平均跳跃幅度占股票价格的百分比。跳跃幅度百分比是由模型中概率分布抽样得出。在时间Δt内，一次跳跃发生的概率为λΔt，因此由跳跃而触发的平均增长率为λk。在风险中性世界里，标的资产服从的过程为：=（r-q-λk）dt+σdz+dp1/96圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台式中，dz为维纳过程，dp为泊松过程，σ为几何布朗运动中的波动率。假定dz和dp相互独立。默顿模型的一个重要特例是当1加上跳跃幅度百分比的对数服从正态分布时的情形。假定正态分布的标准差为s，欧式期权价格可以写作：其中λ′=λ（1+k），变量fn为股息率为q，方差率为：无风险利率为：的布莱克-斯科尔斯-默顿期权价格，其中γ=ln（1+k）。（3）方差-Gamma模型方差-Gamma模型是纯跳跃模型的一个特例。对于这一模型，首先定义g为服从均值率为1.0，方差率为v的Gamma过程的变量在时间T内的变化。Gamma过程是一种纯跳跃过程，g的概率分布密度函数为：其中，Γ（·）代表Gamma函数。定义ST为资产在T时刻的价格，S0为资产的当前价格，r为无风险利率，q为股息收益率。在风险中性世界里，假定方差-Gamma模型时，lnST在条件g下服从正态分布，条2/96圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台件期望值为：lnS0+（r-q）T+ω+θg条件标准差为：其中，在方差-Gamma模型中，参数υ为Gamma过程的方差率，σ为波动率，θ为偏态。当θ=0时，lnST为对称；当θ<0时，lnST为负偏态；当θ>0时，lnST为正偏态。2．随机波动率模型假设描述标的变量的几何布朗运动中的波动率为时间的函数。在风险中性世界里，标的资产价格服从：dS=（r-q）Sdt+σ（t）Sdz（27-1）这时，布莱克-斯科尔斯-默顿公式的方差率应改为期权期限内方差率的平均值，其中方差率等于波动率的平方。当股票价格和其波动率均为随机变量时，模型变为：（27-2）dV=a（VL-V）dt+ξVαdzV（27-3）其中，a，VL，ξ和α为常数，dzS和dzV服从维纳过程，V表示资产的方差率，这里的方差率以速度a被拉回到VL水平。Hull、White证明当波动率为随机，但与资产价格无关时，欧式期权的价格等于布莱克-斯科尔斯-默顿价格在期权期限内在平均方差率分布上的积分，欧式看涨期权的价格表示3/96圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台为：其中，为方差率的平均值，c是以为变量的布莱克-斯科尔斯-默顿价格，g为在风险中性世界里的概率密度函数。3．IVF模型在1994年，Derman和Kani，Dupire以及Rubinstein提出了能使模型价格与简单产品价格达到完全一致的模型，这类模型在后来被称为隐含波动率函数（IVF）模型，或隐含树形模型。在风险中性世界里，模型中的资产价格服从以下随机过程：dS=[r（t）-q（t）]Sdt+σ（S，t）Sdz式中，r（t）为在t时刻到期的瞬时远期利率，q（t）为依赖于时间的股息收益率，波动率σ（S，t）为S和t的函数。同时，证明了σ（S，t）可由以下解析公式来计算，（27-4）其中，cmkt（K，T）表示执行价格为K、期限为T的欧式看涨期权的市场价格。如果市场上可获得的欧式看涨期权价格数量足够多，上式可用来估计波动率函数σ（S，t）。4．可转换债券可转换债券是由公司发行的债券，债券持有者在将来某些时刻有权将债券转换为公司的股票，转换率是一个单位债券可以转换的股票数量（该比率可能是时间的函数）。在对可转换债券定价时，信用风险起着非常重要的作用。Ingersoll提出了一个对可转换债券定价的方法。该模型假定债券发行方的资产服从几何布朗运动，并以此来建立股权价4/96圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台格、可转换债券以及其他与资产价格相关的债权的模型。模型假设只有当资产价值超出负债价值时，债权拥有者才能得到全部付款，因此信用风险以这种方式被考虑在内。在实际中一个被广泛应用的简单模型是直接模拟债券发行方的股票价格，在这一模型中，股票价格被假设为服从几何布朗运动，与一般几何布朗运动不同之处是在每个小的时间区间Δt内，公司有λΔt的概率会违约。公司违约时，股价会变为0，但债券会有一定的回收率。参数λ称为风险中性违约密度。股票价格所服从的过程可以通过修改一般的二叉树来表达，在每个节点上有：（1）在每个时间Δt后，价格按比率u上涨的概率为pu；（2）在每个时间Δt后，价格按比率d下降的概率为pd；（3）在每个时间Δt后，公司违约的概率为λΔt，更准确地讲，违约概率为1-e-λΔt。以下参数保证了树形价格变化的前两阶矩与股票价格分布一致：式中，a=e（r-q）Δt，r为无风险利率，q为股票的收益率。树形的期限被设定为可转换债券的期限，在树形的后端，债券价格依赖于那时债券所有人持有的转换期权，然后在树形结构上倒推计算，在节点上，债券价格为：max[min（Q1，Q2），Q3]式中，Q1为倒推过程中所产生的价格（假定债券还没被转换，也没被赎回）；Q2为可赎回价格；Q3为转换价格。5．路径依赖型衍生产品一个依赖路径衍生产品，也被称为依赖历史衍生产品，是指收益与标的资产的路径有关，而不仅仅指与标的资产的最终价格有关的衍生产品。亚式期权和回望期权是依赖路径衍生产5/96
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记和课后习题详解-第二十七章至第三十章【圣才出品】
