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专题一 集合与函数
第一章 集合
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A?②空集是任何集合的子集，记为??A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B. 如果A?B，B?C，那么A?C.
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈RA；
?二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.
?x?y?3例： ? 解的集合{(2，1)}.
2x?3y?1?②点集与数集的交集是?. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x+1} 则A∩B =?）
2
4. ①n个元素的子集有 个. ②n个元素的真子集有 个. ③n个元素的非空子集有 个. ③n个元素的非空真子集有 个. 5. 集合运算：交、并、补.
交：AIB?{x|x?A,且x?B}并：AUB?{x|x?A或x?B} 补：CUA?{x?U,且x?A}6. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：
A?A,??A,A?U,CUA?U,A?B,B?C?A?C;AIB?A,AIB?B;AUB?A,AUB?B.
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（2） 等价关系：A?B?AIB?A?AUB?B?CUAUB?U （3） 集合的运算律：
交换律：A?B?B?A;A?B?B?A. 结合律:(A?分配律:.A?0-1律：?IB)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C) (B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C) A??,?UA?A,UIA?A,UUA?U
等幂律：A?A?A,A?A?A.
补：拓展：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：
(1)card(AUB)?card(A)?card(B)?card(AIB)(2)card(AUBUC)?card(A)?card(B)?card(C)
?card(AIB)?card(BIC)?card(CIA)?card(AIBIC)【例题精练】
1.（15年文科）设全集
2?，B??2，，U??1，，，，，23456?，A??1，34?，则
AI?CUB??( )
（A）
256? （B）?1? （C）?2? （D）?1，，，234? ?1，，，【答案】B
2. (15年理科) 若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，N={x|(x-4)(x-1)=0}，则MIN= A．? B．【答案】A．
3. (15年天津理科) 已知全集U??1,?4? C．?0? D．?1,4?
??1,2,3,4,5,6,7,8? ，集合A??2,3,5,6? ，集合
B??1,3,4,6,7? ，则集合AIeUB?
（A）
?2,5? （B）?3,6? （C）?2,5,6? （D）?2,3,5,6,8?
【答案】A
4.集合{(x,y)0?x?2,0?y?2,x,y?Z}用列举法表示
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{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．
5.设集合A?{xx?2k?1,k?Z}，B?{xx?2k,k?Z}，则A?B??．
6.设全集I?{1,3,5,7,9}，集合A?{1,a?5,9}，CIA?{5,7}，则实数a的值为
8或2
7.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a，b的值 0、1或1/4、1/2 ．
1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?A?B?UC=__{1,2,3,4}___． 8．设集合A??9.
设
P，Q为两个非空实数集合，定义集合
P+Q={a?b|a?P,b?Q},若P?{0,2,5},Q?{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是___8_ 个．
10．设集合P?{xx2?x?6?0}，Q?{x2a?x?a?3}. （1）若P?Q?P，求实数a的取值围； （2）若P?Q??，求实数a的取值围； （3）若P?Q?{x0?x?3}，求实数a的值.
解：（1）由题意知：P?{x?2?x?3}，QP?Q?P，?Q?P. ①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3．
②当Q??时，得?2?2a?a?3?3，解得?1?a?0． 综上，a?(?1,0)?(3,??)．
（2）①当Q??时，得2a?a?3，解得a?3； ②当Q??时，得??2a?a?3,3，解得a??5或?a?3．
2?a?3??2或2a?332综上，a?(??,?5]?[,??)．
（3）由P?Q?{x0?x?3}，则a?0．
11.【易错点】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 设A??x|x2?8x?15?0?，B??x|ax?1?0?，若AIB?B，求实数a组成的集合
B?B易知B?A，由于空集是任何非空集合的子集，但在解
的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件AI . . .
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题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。 解析：集合A化简得A??3,5?，由AIB?B知B?A故（Ⅰ）当B??时，即方程ax?1?013无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B??时，即方程ax?1?0的解为3或5，代入得a?或
1?11?3。综上满足条件的a组成的集合为?0,,?，故其子集共有2?8个。 5?35?
第二章 函数
高考题概览（检阅基础）
1.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ） A．y?x2sinx B．y?x2cosx C．y?lnx D．y?2?x
【答案】B
2.（15年北京理科）如图，函数f?x?的图象为折线ACB，则不等式f?x?≥log2?x?1?的解集是
y2CA-1OB2x
A．?x|?1?x≤0? B．?x|?1≤x≤1? C．?x|?1?x≤1? D．?x|?1?x≤2?【答案】C
?2x?a?x?1??3.（15年北京理科）设函数f?x???（画图法）
??4?x?a??x?2a??x≥1.
①若a?1，则f?x?的最小值为
；
．
②若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值围是
【答案】(1)1，(2)
1?a?1或a?2. 2 . . .
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124.(15年北京文科) 2，3，log25三个数中最大数的是 ． 【答案】log25
【解析】（找到中间数来比0、1/2、1）
11试题分析：2??1，32?3?1，log25?log24?2?3，所以log25最大.
8?3?3考点：比较大小.
5.（15年理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A．y?x?e B．y【答案】A．
6.（15年新课标2理科）设函数
x?x?11x2 C．y?2?x D．y?1?x x2?1?log2(2?x),x?1,f(x)??x?1,f(?2)?f(log212)?( )
?2,x?1,（A）3 （B）6 （C）9 （D）12 【答案】C
一、函数的概念与表示
1、映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
（2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。
注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。 2、函数
（1）函数的定义
①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一围的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。
②近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x?A,y?B，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。
（2）构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 3、函数的表示方法①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
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高中数学必修一复习资料知识点与习题与答案
