2024年四川省成都七中自主招生数学试卷
一.选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）设a、b、c是不为零的实数，那么x＝A．3种
B．4种
C．5种
的值有（ ） D．6种
2．（5分）已知m2+2mn＝13，3mn+2n2＝21，则2m2+13mn+6n2﹣44的值为（ ） A．45
B．5
C．66
D．77
3．（5分）已知a、b是实数，x＝a2+b2+20，y＝4（2b﹣a）．则x、y的大小关系是（ ） A．x≤y
B．x≥y
C．x＜y
D．x＞y
4．（5分）如果0＜p＜15，那么代数式|x﹣p|+|x﹣15|+|x﹣p﹣15|在p≤x≤15的最小值是（ ） A．30 C．15
B．0
D．一个与p有关的代数式
5．（5分）正整数a、b、c是等腰三角形的三边长，并且a+bc+b+ca＝24，则这样的三角形有（ ） A．1 个 6．（5分）分式A．4
B．2 个
C．3 个
D．4 个
可取的最小值为（ ） B．5
C．6
D．不存在
，则△ABC一定是（ ）
7．（5分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且A．等边三角形
B．腰长为a的等腰三角形 C．底边长为a的等腰三角形 D．等腰直角三角形 8．（5分）若关于x的方程A．﹣5 C．﹣5或﹣
﹣
＝
无解，求a的值为（ ） B．﹣
D．﹣5或﹣或﹣2
9．（5分）已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程3x2﹣mx+1＝0的两根，则sin4α+cos4α的值为（ ）
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A． B． C． D．1
10．（5分）如果关于x的方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，那么关于x的方程（m﹣5）x2﹣2（m+2）x+m＝0的实根的个数（ ） A．2
B．1
C．0
D．不能确定
11．（5分）已知关于x的整系数二次三项式ax2+bx+c，当x取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值y分别为1，5，25，50．经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是（ ） A．x＝1时，y＝1
B．x＝3时，y＝5
]+[a+
C．x＝6时，y＝25 D．x＝8时，y＝50 ]+[a+
]+…+[a+
]＝18（[x]表示不超
12．（5分）已知0＜a＜1，且满足[a+
过x的最大整数），则[10a]的值等于（ ） A．5
B．6
C．7
D．8
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）一个正三角形ABC的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择，则蚂蚁不相撞的概率是 ．
14．（4分）如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD＝62°，则∠AEB的度数是 ．
15．（4分）如图，点A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线
（x＞0）于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2﹣OD2的值为 ．
16．（4分）在下列结论中，正确结论的序号是 ．（请把所有正确结论的序号都填上）
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①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②两组对角的内角平分线分别平行的四边形是平行四边形；
③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形是平行四边形； ④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形． 三、解答题（本大题共6小题，共74分)． 17．（12分）设
＝a+b，其中a为正整数，b在0，1之间；求
的值．
18．（12分）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 日销售量（件）
1 94
3 90
6 84
10 76
36 24
… …
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系是y1＝（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系是y2＝﹣
（21≤t≤40且t为整数）．
（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的只是确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
（2）请预测未来40天的哪一天销售利润最大？最大日销售的利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
19．（12分）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连接PC，交⊙O于点E；连接AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE?AC＝CE?KB．
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20．（12分）如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论．
21．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点， （1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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22．（14分）设a是正整数，如果二次函数y＝2x2+（2a+23）x+10﹣7a和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值和对应的公共整点．
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2024年四川省成都七中自主招生数学试卷
