考研数学《概率论与数理统计》知识点总结 - 图文 

第一章 概率论的基本概念

定义： 随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件． 2．A?B和事件，A，B至少一个发生，A?B发生． 1．A?B，A发生必导致B发生． 3．A?B记AB积事件，A，B同时发生，AB发生． 4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生． 事件关系： 6．A?B=S且A?B=?，A与B互为逆事件或对立事5．A?B=?，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容． 事件运算： 交换律、结合律、分配率略． 件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=A?S?A． 德摩根律：A?B?A?B，A?B?A?B． 概率： 概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)． 2．(有限可加性)P(A1?A2?…?An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，Ai互不相容． 1．P(?)=0． 概率性质: 3．若A?B，则P(B－A)=P(B)－P(A)． 4．对任意事件A，有P(A)?1?P(A)． 5．P(A?B)=P(A)+P(B)－P(AB)． 古典概型： 即等可能概型，满足：1．S包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同． 等概公式： P(A)?kA中样本点数?． nS中样本点总数超几何分布： ?D??N?D?p???k????n?k???????N??a?r?????C，其中． a?n??r?????P(AB)． 条件概率： P(BA)?P(A)乘法定理： P(AB)?P(BA)P(A)P(ABC)?P(CAB)P(BA)P(A)． 全概率公式： P(A)?P(AB1)P(B1)?P(AB2)P(B2)???P(ABn)P(Bn)，其中Bi为S的划分． 贝叶斯公式： P(BiA)?P(ABi)P(Bi)P(A)，P(A)??P(ABj)P(Bj)或P(BA)?j?1nP(AB)P(B)P(AB)P(B)?P(AB)P(B)． 独立性： 满足P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立，简称A，B独立． 定理一： A，B独立，则．P(B|A)=P(B)． 定理二： A，B独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立． 第二章 随机变量及其分布 (0—1)分布： P{X?k}?pk(1?p)1?k，k=0，1 （0zα}=α，0<α<1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点． 常用 上ɑ分位点： Y服从自由度为1的χ2分布： 0.001 3.090 0.005 2.576 0.01 2.326 0.025 1.960 若设X~N(0，1)，则有0.05 1.645 0.10 1.282 设X密度函数fX(x)，???x???，若Y=X2，则?1[f(y)?fX(?y)]，y?0?fY(y)??2yX ?y?0?0，?1y?12e?y2，y?0?fY(y)??2? ?0，y?0?设X密度函数fX(x)，设g(x)处处可导且恒有g′(x)>0(或g′(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有 定理： h(y)是g(x)的反函数；①若???x???，则α=min{g(?∞)，?fX[h(y)]h?(y)，??y??fY(y)?? g(+∞)}，β=max{g(?∞)，g(+∞)}；②若fX(x)在[a，b]外等于零，其他?0，g(x)在[a，b]上单调，则α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}． 第三章 多维随机变量及其分布 二维随机分布函数(联合分布函数)：F(x,y)?P{(X?x)?(Y?y)}，记作：P{X?x,Y?y}． 变量的分布函数： P{x1?X?x2,y1?Y?y2}?F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1)． 1．F（x，y）是x和y的不减函数，即x2>x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；y2>y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）． F（x，y）2．0≤F（x，y）≤1且F（?∞，y）=0，F（x，?∞）=0，F（?∞，?∞）=0，F（+∞，+∞）=1． 性质： 3．F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续． 4．对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有P{x1

第四章 随机变量的数字特征 数学期望： 简称期望或均值，记为E(X)；离散型：E(X)??xkpk．连续型：E(X)?k?1?????xf(x)dx． 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数)． ?定理： 1．若X是离散型，且分E(Y)??g(xk)pk． 布律为P{X=xk}=pk，则： k?12．若X是连续型，概率密度为f(x)，则： ? E(Y)??g(x)f(x)dx．????设Z是随机变量X，Y的函数：Z=g(X，Y)(g是连续函数)． ??定理推广： 1．离散型：分布律为E(Z)???g(xi,yj)pij． 2．连续型：E(Z)?j?1i?1P{X=xi，Y=yj}=pij，则： ??????g(x,y)f(x,y)dxdy 期望性质： 设C是常数，X和Y是随机变量，则： 1．E(C)=C．2．E(CX)=CE(X)．3．E(X+Y)=E(X)+E(Y)． 4．又若X和Y相互独立的，则E(XY)=E(X)E(Y)． 标准差(均方差)： 记为σ(X)，σ(X)= D ( x ) ． 2?记D(X)或Var(X)，D(X)=Var(X)=E{[X－E(X)]2}． 方差： 22通式：D(X)?E(X)?[E(X)]． D(X)??[xk?E(X)]pk，D(X)?k?1????[x?E(x)]2f(x)dx． x??标准化变*2*记X?，其中E(X)??，D(X)??，X称为X的标准化变量． E(X*)?0，D(X*)?1． 量： ?2设C是常数，1．D(C)=0． 2．D(CX)=CD(X)，D(X+C)=D(X)． 方差性质： X和Y是随机3．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X－E(X))(Y－E(Y))}，若X，Y相互独立D(X+Y)=D(X)+D(Y)． 变量，则： 4．D(X)=0的充要条件是P{X=E(X)}=1． nn正态线性22若Xi~N(?i,?i2)，Ci是不全为0的常数，则C1X1?C2X2???CnXn~N(?Ci?i,?Ci?i)． 变换： i?1i?1切比雪夫?2?2P{X????}?2或P{X????}?1?2，其中??E(X)，?2?D(X)，?为任意正数． 不等式： ??协方差： 记Cov(X,Y)?E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}． D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)． 性质： 1．Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，a，b是常数． 令e=E[(Y－(a+bX))2]，则e取最小值时有 2emin?E[(Y?(a0?b0X))2]?(1??XY)D(Y)， X与Y的相关系数： ?XY?Cov(X,Y)． D(X)D(Y)2．Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)． 其中a0?E(Y)?b0E(X)，b0?Cov(X,Y)． D(X)系数性质： 1．|ρXY|≤1．2．|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a，b使P{Y=a+bX}=1． |ρXY|越大e越小X和Y线性关系越明显，当|ρXY|=1时，Y=a+bX；反之亦然，当ρXY=0时，X和Y不相关． X和Y相互对立，则X和Y不相关；但X和Y不相关，X和Y不一定相互独立． k阶矩(k阶原点矩)：E(X k )． k+l阶混合矩：E(XY)． k l 定义： k阶中心矩：E{[X－E(X)] k }． k+l阶混合中心矩： E{[X－E(X)]k[Y－E(Y)]l}． n维正态分布： ?c11n维随机??c变量X iC??21的协方差???c矩阵： ?n1c12?c1n??c22?c2n?cij?Cov(Xi,Xj) ， ????=E{[Xi－E(Xi)][X j－E(X j)]}． ?cn2?cnn?f(x1,x2,?,xn)?1(2?)n2TX?(x,x,?,x)112nexp{?(X?μ)TC?1(X?μ)}，． T2detCμ?(?1,?2,?,?n)1．n维正态随机变量(X1，X2，…，X n)的每一个分量Xi (i=1，2，…，n)都是正态随机变量，反之，亦成立． 2．n维随机变量(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布的充要条件是X1，X2，…，X n的任意线性组合l1X1+l2X2+…+l n X n服从一维正态分布(其中l1，l2，…，l n不全为零)． 3．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，且Y1，Y2，…，Y k是X j (j=1，2，…，n)的线性函数，则(Y1，Y2，…，Y k)也服从多维正态分布． 4．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，则“Xi 相互独立”与“Xi 两两不相关”等价． 性质：

第五章 大数定律及中心极限定理 1n?1n?弱大数定若X1，X2，…是相互独立并服从同一分布的P limP??Xk??????1或X??，X??Xk．k?1理： 随机变量序列，且E(X k)=μ，则对任意ε>0有 n???nk?1n?Y1，Y2，…，Y n ，…是一个随机变量序定义： 列，a是一个常数．若对任意ε>0，有 则称序列Y1，Y2，…，Y PlimP{|Yn?a|??}?1 n ，…依概率收敛于Yn???a n??a．记 其中f A是n次独立重复实验中事件A?fA??fA?伯努利大对任意ε>0有limP? 发生的次数，?p????1或limP??p????0．p是事件A在每次试验n??n??数定理： ?n??n?中发生的概率． 设X1,X2,…,X n ,…相互独立并定理服从同一分布，且E(X k)=μ，一： D(X k)=σ2 >0，则n→∞时有 设X1,X2,…,X n ,…相互独立定理且E(X k)=μ k，D(X k)=σ 二： k2 >0，若存在δ>0使n→∞时， 中心极限定理 (?Xk?n?)k?1nn? N(0，1)或n~ 近似的 X??~N(0，1)或X~N(μ，?2n)． ?nn12??Bnk?1?E{|Xk??k|n2??}?0，则(?Xk???k)k?1k?1Bnn~N(0，1)，记B???k． k?12nn2定理设?n~b(n,p)，则n→∞时，(?n?np)三： np(1?p)~N(0，1)，?n??Xk． k?1第六章 样本及抽样分布 定义： 总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限． 定义： 样本：X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本． 图形：以横坐标小频率直方区间为宽，纵坐标图： 为高的跨越横轴的几个小矩形． 横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大图形特点：外轮数据值稍大；小区间：均分大区间，组距Δ=大区间/小区间个数；廓接近于总体的小区间界限：精度比数据高一位）． 概率密度曲线． 纵坐标：频率/组距（总长度：<1/Δ；小区间长度：频率/组距）． 定义： 样本p分位数：记xp，有1．样本xi中有np个值≤xp．2．样本中有n(1－p)个值≥xp． 当np?N?x([np]?1)，?． xp选择： 记xp??1[x?x]，当np?N(np)(np)?1??2箱线图： 图形： min Q1 M Q3 max 分位数x0.5，记为Q2或M，称为样本中位数． 分位数x0.25，记为Q1，称为第一四分位数． 分位数x0.75，记为Q3，称为第三四分位数． 图形特点：M为数据中心，区间[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]数据个数各占1/4，区间越短数据密集． 四分位数间距：记IQR=Q3－Q1；若数据XQ3+1.5IQR，就认为X是疑似异常值． 抽样分布： 1n样本平均值： X??Xi ni?1样本标准差： S?S2 1n1n22?(Xi?X)?(?Xi?nX2) 样本方差： S?n?1i?1n?1i?11nk1n样本k阶样本k阶Ak??Xi，Bk??(Xi?X)k，k≥2 k≥1 (原点)矩： 中心矩： ni?1ni?121经验分布Fn(x)?S(x)，???x??． S(x)表示F的一个样本X1,X2,…,X n 中不大于x的随机变量的个数． 函数： n2222，?2?X12?X2，其中X1,X2,…,X n???Xn自由度为记χ~χ（n）n的χ2分是来自总体N(0，1)的样本．E(χ2 )=n，D(χ2 )=2n． 布： χ12+χ22~χ2（n1+n2）． 1?xn2?1e?y2，y?0?n2f(y)??2?(n2)． ?0，其他?χ2分布的2对于0<α<1，满足P{?2???(n)}?分位点： ????2(n)2(n)为?2(n)的上α分位点． f(y)dy??，则称??