高等数学试卷含答案下
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Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
高等数学II试题
一、填空题（每小题3分，共计15分）
? z??xzxy?yz?ez?f(x,y)1．设由方程确定，则? x 。
232．函数u?2xy?z?xyz在点P0(0,?1,?2)沿方向l? 的方向导数最大。
22x2?y2dsx?y?4?3．L为圆周，计算对弧长的曲线积分L= 。
23x?t,y?t,z?t4．已知曲线上点P处的切线平行于平面x?2y?z?2，则点P的坐标为
或 。
?2?1?x?0f(x)???x0?x?1，则f(x)5．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(?1, 1]的定义为
的傅里叶级数在x?1收敛于 。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设f(x, y)连续，交换二次积分2．计算二重积分D限内的区域。
I??dx?012?x1?1?x2f(x,y)dy的积分顺序。
??x2?y2dxdy22，其中D是由y轴及圆周x?(y?1)?1所围成的在第一象
2222z?1?x?yz?x?y?3．设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积分
I????f(x2?y2?z2)dxdydz?xL化为球坐标系下的三次积分。
[f(x)?e]ydx?f(x)dy4．设曲线积分?与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且
f(0)?1，求f(x)。
?x???y?2y?y?e5．求微分方程的通解。
三、(10分)计算曲面积分
??ydzdx?zdxdy?2222，其中∑是球面x?y?z?4(z?0)的上侧。
22z?x?y，其中?由与z?1围成的区域。
四、(10分)计算三重积分
???(x?y?z)dxdydz?22五、(10分)求z?x?y?1在y?1?x下的极值。
22六、(10分)求有抛物面z?1?x?y与平面z?0所围立体的表面积。
xn?1?n七、(10分)求幂级数n?1n3的收敛区间与和函数。
?高等数学II试题解答
一、填空题（每小题3分，共计15分）
?xz? z?y?ze??xz?xzxy?yz?ey?xez?f(x,y)? x1．设由方程确定，则。
23u?2xy?z?xyz在点P0(0,?1,?2)沿方向l?(4,0,-12) 的方向导数2．函数
最大。
3．L为圆周x?y?4，计算对弧长的曲线积分?L=8?。
234．已知曲线x?t,y?t,z?t上点P处的切线平行于平面x?2y?z?2，则点P的坐标为
22x2?y2ds111(?,,?)(?1,1,?1)或3927。
?2?1?x?0f(x)??f(x)(?1, 1]?x0?x?1，则f(x)5．设是周期为2的周期函数，它在区间的定义为
3的傅里叶级数在x?1收敛于2。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）
6．设f(x, y)连续，交换二次积分
I??dx?012?x1?1?x2I??dx?012?x1?1?x2f(x,y)dy的积分顺序。
f(x,y)dyf(x,y)dx??dy?122?y0解：
??dy?011?(y?1)20f(x,y)dx
7．计算二重积分D限内的区域。 解：
??x2?y2dxdy22，其中D是由y轴及圆周x?(y?1)?1所围成的在第一象
???Dx?ydxdy??d??20222sin?0r2dr?169
2222z?1?x?yz?x?y8．设?是由球面与锥面围成的区域，试将三重积分
I????f(x2?y2?z2)dxdydz?化为球坐标系下的三次积分。
与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且
解：
9．设曲线积分?L[f(x)?ex]ydx?f(x)dyf(0)?1，求f(x)。
解：P?[f(x)?e]y，Q??f(x)。由?Lx[f(x)?ex]ydx?f(x)dy与路径无关，得
??Py?Qx，即
1x1?xy?ce?ec?f?(x)?f(x)?ex?0。解微分方程y??y?ex，得其通解2。又f(0)?1，得2。故
11f(x)?e?x?ex22
?x???y?2y?y?e10． 求微分方程的通解。
解：y???2y??y?0的通解为y?(c1?c2x)e。 设原方程的一个特解y?ce，代入原方程，得 三、(10分)计算曲面积分
*?xxc?14。其通解为
??ydzdx?zdxdy?2222，其中∑是球面x?y?z?4(z?0)的上侧。
22?:z?0 (x?y?4)下侧。 1解：补上
四、(10分)计算三重积分
解：
???(x?y?z)dxdydz?22，其中?由z?x?y与z?1围成的区域。
22五、(10分)求z?x?y?1在y?1?x下的极值。 222z?x?(1?x)?1?2x?2x?2 解：
11x?222。z???4?0，2为极小值点。故z?x?y?1在y?1?x下的令z??4x?2?0，得
113(,)极小值点为22，极小值为2。
x?22六、(10分)求有抛物面z?1?x?y与平面z?0所围立体的表面积。 22z?1?x?y (z?0)的面积为 解：
?(55?1)6 平面z?0部分的面积为?。故立体的表面积为
?xn?1?n七、(10分)求幂级数n?1n3的收敛区间与和函数。
???。
??xn?1xnxn?11???s(x)(xs(x))?()?????nnnn3n333?x。故[?3,3)n?1n?1n?1解：收敛区间为。设，
?ln31?x?xln(3?x)s(x)??1?3?x?0x?0。
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