《等比数列的前n项和》（第一课时）教学设计
海南省洋浦中学 周丽宇
一、教材分析
1.在教材中的地位与作用
在《数列》一章中，《等比数列的前n项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学《函数》的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2．教材编排与课时安排
提出问题→探究等比数列前n项和公式→公式运用→问题解决。
本节“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间为2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。
二、教学目标分析
依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下： 【知识与技能】 理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法的运用。
【过程与方法】 感悟并理解公式的探求过程，感受公式探求过程所蕴涵的的思维方法，渗透类比思想、方程思想、分类讨论思想，优化思维品质，初步提高学生的数学问题意识和探究、分析与解决问题的能力。
【情感、态度与价值观】 通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。
三、重、难点分析
【教学重点】 等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。
【教学难点】 等比数列前n项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看，探究能力和用数学语言交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可进行类比推导，但需要充分挖掘方法的本质，理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的。因此，教师在发挥学生主体性前提下通过问题的逐层设置来给予适当的提示和指导。
四、学情与教法分析
1．学情分析
从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识，能够把本节内容与等差数列前n项和进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。而且对q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学习使用过程中往往会出错。学生虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 2．教法分析
根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。 3．教学构想
等比数列前 n项和公式的推导是本节课的重点内容，要积极引导学生观察实例，发现规律，类比推理，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。 课后可以给出等比数列前 n项和公式推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和巩固练习的选择要全面，不能忽略q=1的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n项和公式的综合运用涉及五个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练，但要注意避免难度较大的指数方程的求解。
五、教具准备
教科书（必修5） 多媒体课件和操作系统
六、教学过程
（一）问题情境
从前，有个贪婪的地主，总是剥削他的佃农，有一天，农夫终于想到了一个办法来对付这个地主。 春天到来时，地主对农夫说：“一年之计在于春，又到了春播时节了。你到地里干一个月（30天）的活，先来谈谈你的工钱。哎，最近官吏征收繁多，地主家也没有多少余粮啊。”
农夫说：“这样吧，工钱不要了，我每天给你一袋米（40斤），你第一天给我一粒大米，第二天给我两粒，第三天四粒，第四天八粒…以后每天给我的大米数是前一天的2倍。你看如何？”
地主心想：第一天1粒，第二天2粒，第三天4粒，第四天8粒…居然有这么笨的农夫，我一把米可以换他多少袋米啊。哈哈，我赚大发了。
地主就马上同农夫进行了签字画押。
（二）问题探究
问题1：这个故事中，地主中计了吗？到底谁吃亏了？ 答： .
问题2：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？
答： .
问题3：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？（1000粒米约40克） 答： . 问题4：这是什么数列求和？求前多少项的和？ 答： . 问题5：如何求出这个和？用计算器怎么样？ 答： .
问题6：等差数列有求和的公式，那么等比数列是否也有求和的公式呢？若有就直接代入公式计算。 答： .
问题7：怎样求等比数列的前n项和公式？ 答： .
问题8：能否类比等差数列前n项和公式的求法？ 答： .
（三）方法回顾
回顾等差数列求和公式的推导过程：
数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn,则Sn?a1?a2????an?1?an ①
根据①式，如何构造另一个式子②？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿② 把这两个式子怎么样？
再利用性质化简，最后得出公式。这种方法叫做 ，其目的是
（四）类比探究
问题1：对于等比数列{an}，是否也能用倒序相加的方法进行求和Sn?a1?a2????an?1?an呢?请大家动手试试。
解析1： 解析2：
反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。而是要挖掘 （求和的 ）。
问题2：求和的根本目的是什么？
答： .
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用 来表示，即Sn?＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿① 问题3：观察求和的式子①，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 答：
问题4：类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子②，而要达到消项的目的，就须使两式具有＿＿＿＿
问题5：如何构造式子②？
答： ②.
问题6：为了消项，接下来将这两个式子怎么样？
答： . 问题7：要求出Sn，是否可以把上式两边同除以1?q？ 答： .
注意： 是一种常用的数学思想方法！
探究成果：
等比数列{an}的前n项和为Sn?a1?a2????an?1?an 则当 时, Sn= ； 当 时, Sn= . 方法小结：
联想我们学过的知识，即类比＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，挖掘其方法的＿＿＿（求和的根本目的是＿＿＿）,结合等比数列自身的＿＿＿来构造式子，再把两式＿＿＿，这种方法叫做＿＿＿＿＿＿＿＿.
课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比吗？能否乘以其它的数？
（五）方程探究
问题1：还有其它的推导方法吗？
问题2：根据①式Sn?a1?a1q????a1qn?2?a1qn的特点，能否建立一个关于Sn的方程？若能，就可从方程中解出Sn
问题3：①式的左边是Sn,要建立一个关于Sn的方程,那就要将①式的右边也用含 的式子来表示。
问题4：观察①式的右边，从第二项开始，每一项都含有因式 ，是否可考虑将之提出来？ 答： .
问题5：括号里面的，与①式右边对照，少了哪一项？ 答： .
问题6：括号里面的，怎样用含Sn的式子表示？
答： . 问题7：这样就得到了一个什么方程？ 答： .
问题8：解方程时要注意对＿＿＿＿＿＿＿进行＿＿＿＿。
过程小结：
根据等比数列求和式子的特点，对其部分项提出公因式＿＿后，可将其用含＿＿＿的式子表示出来，从而建立关于＿＿＿的方程，解此方程即可。
注意： 是一种重要的数学思想方法！
课后思考：对和式①的右边部分，只能提出公比吗？能否提出其它的公因式？
（六）熟悉理解公式
等比数列{an}的前n项和为Sn，则 当q=1时, Sn=na1
n
a1（1－q）
当q≠1时, Sn=
1－q
思考1：根据公式①，要求一个等比数列的前n项和，一般要先求出哪些量？ 答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
思考2：能否将Sn用a1, q, an来表示？ 答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
思考3：什么时候用公式①, 什么时候用公式②? 答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（七）公式的应用
例1.求下列等比数列前8项的和．
111，，，┉ 2481(2) a1?27，a9?，q?0．
243(1)
解题思路：先求出 ，再用 求S8 解：
思考：能否用公式②求S8？
答：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
变式1 判断正误：
1?(1?2n)n?1①1?2?4?8???(?2)? （ ）
1?2n②1?2?22?23???2n?1?(1?2) （ ）
1?21?(1?an)2n?1③1?a?a???a? （ ）
1?a反思总结：
用等比数列前n项和公式前，要先弄清楚数列的＿＿＿＿＿＿＿
变式2 填空：
《等比数列的前n项和》(第一课时)教学设计 教材分析
