§7-5 磁通量 磁场的高斯定理
一、磁感线 1. 定义
在磁场中画一组曲线来描绘磁场，曲线上每一点的切线方向与该点的磁场方向一致，这一组曲线称为磁感应线。 *磁感应线描述磁场的方法
①方向：曲线上一点的切线方向和该点的磁场方向一致。②大小：磁感应线的疏密反映磁场的强弱。磁感应线密度：（定量描述磁力线疏密与磁场的强弱的关系）：通过无限小面元dS 的磁感应线数目d?m与dS 的比值称为磁感应线密度。我们规定磁场中某点的磁感应强度的值等于该点的磁感应线密度。B?d?m dS2. 性质：无头无尾的闭合曲线；磁场中任意两条磁感应线不相交。
二、磁通量 磁场的高斯定理
1. 磁通量：通过磁场中任一面的磁感应线数称为通过该面的
磁通量。用?m表示。（1）均匀磁场，磁感应线垂直通过
S ?m?BS
均匀磁场，S法线方向与磁场方向成?角 意曲面
vv??BScos??B?S（2）磁场不均匀，S 为任 mvvd?m?BdScos??B?dS,?m?乙??BdScos??S?m???SvvB?dS
（3）S 为任意闭合曲面
??SvvB?dS规定：dS
正方向为曲面上由内向外的法线方向。则：磁感应
线穿入?m为负，穿出?m为正。
vv??dΦ1?B1?dS1?0 vv???dΦ2?B2?dS2?0vv磁场高斯定理 ò??B?dS?0
S物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零（故磁场是无源的）。
例 如图载流长直导线的电流为I，试求通过矩形面积的磁通量。 解 B??0I2πx
dΦ?BdS??0I2πxldx
vv?0Ild2dx Φ??B?dS??Sd12πx?IldΦ?0ln2
2πd1§7-6 安培环路定理
一、安培环路定理
v1．安培环路定理：在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度B沿任意闭合曲线的线积分（也v称B的环流），等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的
vv电流强度）的代数和的?0倍。即： ??B?dl??0?Ii
L电流I正负的规定：I与L成右螺旋时，I为正；反之为负. 2．安培环路定理的证明
(1)在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路：
vvB蜒??dl?L?Lvv即：?B??dl??0I
L?0?dl?0?dl??0I ?2?r2?rL
vv改变电流方向：??B?dl???0I
L(2)在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路：
???0?0B?dl?Bcos?dl?cos?dl?rd???0I????2?r2?rLLLL vv即：??B?dl??0I(3)闭合路径L不包围电流，在垂直平面内的任一回路：???????0I?dl?[??(??)]?0?LB?dl??L1B?dl??LB22π v
(4)围绕单根载流导线的任一回路：对L每个线元dl，以过垂直导线平面作参考分解为分量vvdl//和垂直于该平面的分量dl?，
???????B?dl??B?dl//??B?dl?LL???B?dl?0???? ???B?dl??B?dl//?0LL//L//L?
In?1,In?22,LIn?k根电流不穿过回(5)围绕多根载流导线的任一回路设I1,I2,LIn电流过回路，vvv路。令B1,B2,L,Bn?k分别为单根导线产生的磁场，则有：
???B1?dl??0I1L
????0In?LBn?dl? ???Bn?1?dl?0L???B?dl?L?n?k??0 ??B?dl??0?IiLi
二、安培环路定理的应用举例
例 用一根长导线绕制成的密集螺旋线圈，称为螺线管，如图所示。当螺线管的长度比每匝线圈的直径大得多时，管内中间部分的磁场是匀强磁场，磁场的方向与管的轴线相平行，并与电流的方向满足右螺旋关系。如果螺线管单位长度的线圈匝数为n，螺线管通过的电流为I，求管内中间一点P的磁感应强度。
解：通过点P作一矩形的闭合环路abcda，如图所示。磁感应强度沿闭合环路abcda的环路积分，可以写为四部分相加，即
rrrrrrrrvv??B?dl??B?dl??B?dl??B?dl??B?dl
Labbccdda式中第一项等于Bab，其中B是螺线管内部磁感应强度的大小；第二项和第四项都等于零，因为磁感应强度B与积分路径垂直；第三项也等于零，因为当密绕螺线管的长度比每匝线圈的直径大得多时，管外的磁场等于零。这样，磁感应强度沿abcda的环路积分可以表示为
其方向与电流满足右手螺旋法则
例 (P257，例1)用一根长导线绕制成密集的环状螺旋线圈，称为螺绕环，如图所示。当线圈绕得相当密集时，可以认为磁场全部集中在螺绕环内部，并且磁感应强度的大小处处相等，方向与螺绕环的轴线相平行。而环外磁场可以忽略。如果螺绕环轴线单位长度的线圈匝数为n，螺绕环
通过的电流为I，求环内的磁感应强度。 解：既然环内各处的磁感应强度大小都相等，我们可以取轴线作为闭合环路，如图所示。磁
感应强度沿这个路径的积分为即可求得环内磁感应强度的大小为 同理可求得在螺绕管外部的磁场为零： 例 (P258，例2) 无限长载流圆柱体的磁场。 解 （1）对称性分析
vv（2）r?R ??B?dl??0I
l B??0I2πr
0?r?Rvvπr2??lB?dl??0πR2I
B?
?0Ir2πR2
例 无限长载流圆柱面的磁场。
vvvv?0I解 0?r?R， ? B?dl?0?B?0r?R， B?dl??I?B?0??l?l2πr
例 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场。
第七章 恒定磁场
