神州智达2024届高三诊断性大联考（一）
理科数学（质检卷Ⅰ）
班级___________ 姓名___________
注意事项：
1.考试时间120分钟，总共150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A???2,?1,0,1,2?，B?x?N*1?2x?9，则AIB?（ ） A.??1,0,1,2?
2.已知命题p：复数z?（ ） A.p真q真
B.p真q假
C.p假q真
D.p假q假
B.??1,0,1?
C.??1,1,2?
D.?1,2?
??1?2i3的虚部是?，题q：复数?2?i??1?2i??4?3i，以下命题真假判断正确的是
21?i3.已知各项均为正数的等比数列?an?中，a1?2，前三项的和为26，则a4?（ ） A.36
B.48
C.54
D.64
4.已知a?0.50.5，b?0.30.5，c?log0.70.2，则a，b，c的大小关系是（ ） A.c?a?b
B.b?a?c
C.c?b?a
D. a?b?c
5.阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马
P?ABCD中，PC为阳马中最长的棱，AB?1，AD?2，PC?3，若在阳马P?ABCD的外接球内部随机取
一点P，则P位于阳马内的概率为（ ）
4 27???1????6.已知sin?????，则sin??2???（ ）
6?3??6?A.
B.
1 27?C.
8 27?D.
4 9?8A. 9
8B.?
9C.
7 97D.?
9
ex?e?x7.函数f?x??的图象大致是（ ）
2x?1A. B. C. D.
8.执行如图所示的程序框图，若输出的S?1023，则判断框内可以为（ ） 512
A.i?10?
5B.i?10? C.i?11? D.i?11?
9.?2x2?x?1?的展开式中x2的系数为（ ） A.400
B.120
C.80
D.0
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）
A.平面D1C1P?平面C1CP C.A1D?D1P
B.三棱锥A?D1DP的体积为定值 D.DP?平面D1C1P
211.已知点A，B为抛物线x?2py?p?0?上的两个动点，以AB为直径的圆经过焦点F，面积为2?，若过圆
心C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最大值为（ ） A.2
B.2 C.2 2D.
1 2212.已知函数f?x??mx?x?lnx，若存在x0?(0,??)使得f?x0??0，则m的取值范围是（ ）
1??A.???,??
2??B.?0,??? C.??1,???
?1?D.??,??? ?2?二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
rrrrrra?b?3则b?__________. 13.已知向量a与b的夹角为60?，a?1，
?y?2?0,?y14.在直角坐标系xOy中，实数x，y满足不等式组?x?y?1?0,则的取值范围为__________.
x?x?y?3?0,?15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且周长的最小值为__________.
b?cbc?cosB?cosC，?8，则△ABC的 asinAx2y216.已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?，A?a,0?，B?2a,0?，点P为双曲线C右支上一点（异于点A），满
abuuur2uuur2足PA?PB?a2，则该双曲线离心率e的取值范围为__________.
三、解答题：共70分.解答应写岀文字说眀、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.已知数列?an?满足
an?1?2an，且a1?1. an?1（1）求数列?an?的通项公式；
（2）设数列?anan?1?的前n项和为Tn，求证：Tn?1. 218.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的菱形，AC?平面AA1B1B，且AC?2，点E为
A1C1的中点.
（1）证明：平面ACB1?平面B1CE;
（2）若?ABB1?60?，求直线BC与平面B1CE所成角的正弦值.
19.为了调查某公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取30名员工，调查他们的饮食习惯和月收人的关系，并制作了30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表（说明：表中饮食指数不高于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.其中月收入4000元以上员工中饮食指数高于70的有11人.
（1）填表，并判断是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系.若有，请说明理由，若没有明理由，并分析原因；
主食蔬菜 主食肉类 合计 月收入4000元及以下 月收入4000元以上 合计 （2）以上面的统计数据为参考，从该公司主食蔬菜的员工中随机抽取3人，设这3人中月收入4000元以上的人数为X，求X的分布列与期望.
（3）经调查该公司员工的月收入x（百元）和月饮食支出y（百元）具有线性相关关系，并得到y关于x的y?0.245x?3.210，若一个员工的月收入恰好为这30人的月平均收人，求该人的月饮食支回归直线方程：$出费用.（结果保留到小数点后三位） 附：参考公式及临界值表：K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?c?0.10 2.706 ，其中n?a?b?c?d.
P?K2?k0? k0 0.15 2.072 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 20.如图，一张坐标纸上已作出圆E:(x?3)2?y2?16及点Q(3,0)，折叠此纸片，使Q与圆周上某点Q?重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EQ的交点为N，点N的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C与y轴的负半轴交于点D，过D作两条互相垂直的直线分别与曲线C相交于点P、M，求证：直线PM经过一定点，并求出该定点的坐标.
21.已知函数f?x??x?lnx?a有两个不同的零点. （1）求实数a的取值范围；
2（2）若函数f?x?的两个不同的零点为x1，x2，且x1?x2，当x2?2时，证明：x1?x2?2.
（二）选考题：共10分.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，在答题卡选答区域指定位置答
题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目题号一致. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
1x2在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:?y2?1，将C的横坐标变为原来的，纵坐标不变得到曲线C1，
24再将曲线C1向右平移一个单位得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
l的极坐标方程为?cos??3?sin??3.
（1）求曲线C2的极坐标方程；
OB????（2）若射线?????????与直线l和曲线C2分别交于A的最大值. ，B两点，求
2?OA?223.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f?x??x?4?x. （1）解关于x的不等式f?x??12；
?1?+（2）对任意的x?R，都有不等式f?x???t?4???9??m(t?R)恒成立，求实数m的取值范围.
?t?神州智达2024届高三诊断性大联考（一）
理科数学参考答案（质检卷Ⅰ）
一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 6 C 7 C 8 A 9 D 10 D 11 A 12 C 1.D A???2,?1,0,1,2?，B??1,2,3?，∴AIB??1,2?，故选D. 2.A 因为z?1?2i?1?2i??1?i??1?3i3??，所以其虚部为?，所以p为真命题； 1?i2?1?i??1?i?22因为?2?i??1?2i??2?4i?i?2i?4?3i所以q为真命题，所以选A.
3.C 设等比数列?an?的公比为q，则2?2q?2q2?26，解得q?3或q??4（舍），所以a4?a1q3?54. 4.B 因为y?x0.5在(0,??)上是增函数，且0.5?0.3，所以0.50.5?0.30.5，即a?b，c?log0.70.2?log0.70.7?1，而1?0.50?0.50.5，所以b?a?c.
5.C 根据题意，PC的长等于其外接球的直径，因为PC?PA2?AB2?AD2，∴3?PA2?1?4，
神州智达2024届高三诊断性大联考（一）理科数学质检卷I试题及答案
