利用速度偏折角确定磁场边界圆
当带电粒子垂直于磁场方向经过圆形边界的匀强磁场时，如果已知带电粒子进人磁场时的方向和离开磁场时的 方向，则可求出这种有界磁场的圆形区域面积的最小值。
由平面几何可知，若从圆外一点引圆的两条切线，则夹角的平分线必过圆心，且为切点弦的垂直平分线。因此，对于匀速圆周运动，圆心位于两个速度矢量所在直线夹角的平分线上。那么对于带电粒子在勻强磁场中的匀速圆周运 动问题，如果已知初、末速度的方向和半径大小，则可确定 圆心的位置。即圆周运动轨迹的圆心位于两个速度矢量偏 折角的平分线上。这里所说的两个速度矢量的偏折角，是 指初速度的正方向与末速度的反方向的夹角，与速度的偏向角或偏转角不同，其实偏折角与偏转角互补。下面对有关带电粒子在有界磁场中圆周运动所设置磁场的圆形区域最小面积问题进行举例分析。
【例1】如图1所示，一带电质点，质量为m电量为q,以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射人第一象限。为了使该质点能从x轴上的b点以速度v沿Ox轴夹角为60°的方向射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面，磁感应强度为B的匀强磁场。质点重力忽略不计，若此磁场仅分 布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小面积。
mv2【解析】质点在磁场中做半径为R的圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qvB?，
R可知半径R?mv. qB如图2所示，过b点作速度矢量的反向延长线，与初速度矢量所在直线相交于d点，作∠adc心的平分线，则质点做圆周运动的圆心一定在角平分线上。
在角平分线上找一点o?使其到两速度方向所在直线的垂直距离等于轨迹半径R，则o?点就是质点做匀速圆周运动的圆心，a?点和c点应在所求圆形磁场区域的边界上。
在通过a?点和c点的不同圆中，最小的一个圆是以线段a?c为直径的圆。由于速度偏向角为60°,则半径转过的 角度为60°，可知?a?Od?30?，因此所求圆形区域的最小半径为r?11a?c?Rsin30??R. 221mv2?()。 4qB所以磁场区域的最小面积为S??r?2【点评】利用了圆周运动的性质“圆周运动轨迹的圆心位于两个速度矢量偏折角的平分线上”“圆周运动的速度偏转角等于对应半径转过的角度即圆心角”以及“圆周运动的速度沿切线方向”;利用了圆的性质“圆的切线与经过切点的半径垂直”和“若以一条线段为弦作圆，则以线段为直径的圆的面积最小”。
【例2】在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动轨迹的控制。如图3所示，空间存在直角三角形MNQ，∠M为直角, ???3有一束质量为m，带电量为+q
的粒子流以相同速度v由M点沿MQ方向射出。 在MN所在直线的右侧适当区域施加垂直于MNQ平面的有界匀强磁场，使带电粒子偏转后能沿着QN方向到达N点，所加磁场的磁感应强度为B。带电粒子所受重力忽略不计。求：
(1)若所加磁场的横截面为圆形，其最小面积为多少 (q、m、v、B均已知）？磁场方向向里还是向外？
(2)若MN的长度L = 1. 5 m，带电粒子的质量为m = 4.0×10kg，电量为q=+4.0×10
4
-8
-3
C、速度为 v=5.0×10 m/s，所加磁场的磁感应强度为B=l. 0T，横截面仍为圆形，带电粒子能沿着QN方向到达N点，则带电粒子由 M点到N点的时间为多少(计算结果保留两位有效数字)？
2
【解析】（1)带电粒子离开磁场时，速度方向沿QN方 向，由于进入磁场时的初速度和离开磁场时的末速度都与运动轨迹相切，因此圆心位于角α的平分线上，可在角α平分线上找一点〇1，使该点到垂直于初、末速度的方向所在直线上距离等于轨迹半径，则该点即为圆周运动的圆心，r1为其半径。线段PS为运动轨迹圆弧的弦，点P、S恰好在磁场的边界，如图4所示。
当线段PS为所加圆形区域磁场直径时，边界圆的面积最小。Ob为圆形有界磁场的圆心，r2为其半径。质点在磁场中做半径为n的圆周运动，洛
mv2伦兹力提供向心力，即qvB?，可知半径为
r1r1?mv?3mv???.?O1QP??,则?O1PO2?,因此r2?r1cos?.所以最小面积qB26662qB2为S??r?3mv2?() 磁场的方向垂直纸面向外。 4qB(2)把数据代人r1?mv，得r1 =0.5 m。则PQ =O1Ptan60°=r13?0.53m。 qB而MQ=Ltan30°=0.53m，因此P点与M点重合， 即粒子必须在M点进人磁场，在S点离开磁场，如图5 所示。
运动轨迹对应的圆心角为?MO1S?一周期。
而周期为T?2?，即为三分之一周角。因此运动时间为三分之32?m?6.3?10?5s，所以带电粒子在磁场中运动时间t1?2.1?10?5s。 qB由图 5 可知O1N?1.0m SN?O1Ncos时间为t2??6?3m， 因此带电粒子在磁场外运动的2SN?1.7?10?5s，所以总时间为 t?t1?t2?3.8?10?5s. v【点评】解题关键是证明P点与M点重合，即粒子必须 在M点进人磁场，在S点离开磁场;对于粒子在磁场中的 运动时间是通过圆心角和周期得出的。
【例3】如图6所示，一质量为m，带电量为q的粒子以 某一速度v从x轴上一点P射人第一象限的匀强磁场中， 点P在磁场边界上。速度v与z轴夹角为30°，一段时间后，粒子从y轴上的N点与轴正方向夹角60°的方向飞出，已知0P=a，ON?b?3a,不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场磁感应强度的大小； (2)有界磁场所在圆形区域面积的最小值。
【解析】(1)作粒子圆周运动的偏折角的平分线，平行于x轴方向，如图7所示。已知点P在磁场边界上，则点D在 磁场边界上，那么运动轨迹的圆心0在速度偏折角的平分线
??上，可知PD?2Rsin60?3R,，又PD?b?atan30.。可
得R?312b?a?a. 333
mv2mv3mv?洛伦兹力提供向心力，即qvB?,所以磁感应强度B? 。 RqR2qa(2)在以一条线段为弦的各圆中，面积最小的圆是以该线段为直径的圆，则PD为直径，因此圆形区域磁场的半径为R?PD3?R，所以磁场区域的最小面积为22321S??r2??(a)2??a2
433
【点评】解题的关键是通过作图并利用几何关系求圆周运动的半径R以及圆形区域的半径r。
【例4】一质量为m，带电量q的粒子，以速度v0从0 点沿y轴的正方向射人磁感应强度为B的圆形勻强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b点穿过x轴，速度方向与z轴正方向的夹角为30°，如图8所示， 粒子的重力不计，求这个圆形磁场区域面积的最小值。
4
【解析】质点在磁场中做半径为R圆周运动，洛伦兹 力提供向心力，可知半径为R?mv0。 qB过b点作末速度矢量的反向延长线，与初速度矢量所在直线相交于d点，作的?Odb的平分线，则质点做圆周运动的圆心一定在角平分线上。若认为〇点为磁场边界，则运动轨迹的圆心在x轴上，那么角平分线与x轴的交点0'为运动轨迹的圆心，半径为O?O?R。
粒子在磁场中运动的偏向角为90°+30°= 120°，则半径转过的角度为120°。即?OO?a?120?,如图9所示，O点和 a点应在所求有界磁场的圆形边界上。
在通过〇点和a点的不同圆中，最小的一个是以线段 Ob为直径的圆。可知
?OO?d?60? ，因此所求圆形区域的最小半径为r?Oa?Rsin60??场区域的最小面积为S??r?2123R,所以磁23mv02?()。 4qB若0点不在磁场边界上，则磁场边界必经过y轴上C点，如图10所示。
可知圆周运动轨迹的半径为O?c?R.在通过c点和a 点的不同圆中，最小的一个是以线段ca为直径的圆，则圆形区域的半径为r?13Oa?Rsin60??R。 22
2017年高考物理 专题集锦(二)利用速度偏折角确定磁场边界圆
