高中数学选修2-1课时作业
2.4.1 抛物线及其标准方程
一、基础过关
1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是? ) A.?2,0) C.?4,0) [答案] B
[解析] ∵y2=-8x,∴p=4,∴焦点坐标为?-2,0).
x2y2
2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线方程为
42? ) A.y2=8x C.y2=2x [答案] D
x2y2
[解析] 由题意知抛物线的焦点为双曲线-=1的顶点,即为?-2,0)或?2,0),所以抛物线
42的方程为y2=8x或y2=-8x.
3.已知抛物线y2=2px ?p>0)的准线与圆?x-3)2+y2=16相切,则p的值为? ) 1A. 2
B.1
C.2
D.4
B.y2=4x D.y2=±8x
B.?-2,0) D.?-4,0)
[答案] C
1
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pp
-?=4,p=2. [解析] 抛物线y2=2px的准线方程为x=-,它与圆相切,所以必有3-??2?24.抛物线方程为7x+4y2=0,则焦点坐标为? ) 7
,0? A.?16??7
-,0? C.??16?[答案] C
77[解析] 方程化为y2=-x,抛物线开口向左,2p=,
447p7
-,0?. =,故焦点坐标为??16?216
5.若一动点到点?3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则该点的轨迹是? ) A.椭圆
B.双曲线 D.抛物线
7
-,0? B.??4?70,-? D.?4??
C.双曲线的一支 [答案] D
[解析] 已知条件可等价于“动点到点?3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离”,由抛物线的定义可判断,动点的轨迹为抛物线.
x2y2
6.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.
169[答案] y2=16x
x2y2
[解析] ∵双曲线的方程为-=1,
169∴右顶点为?4,0).
设抛物线的标准方程为y2=2px ?p>0),
p
则=4,即p=8,∴抛物线的标准方程为y2=16x. 2
7.已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,求M点到y轴的最短距离.
1
解 如图所示,抛物线y2=2x的准线为l:x=-,过A、B、M分别
2作AA′、BB′、MM′垂直于l,垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.又M为AB的中点,由梯形中位线定理得
2
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1111331
|MM′|=?|AA′|+|BB′|)=?|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=,则M到y轴的距离d≥-=1
2222222?当且仅当AB过抛物线的焦点时取“=”),所以dmin=1,即M点到y轴的最短距离为1. 二、能力提升
8.已知抛物线C:y2=8x与点M?-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.→→
若MA·MB=0,则k的值为 ? ) 1A. 2
B.2 2
C.2 [答案] D
D.2
→→
[解析] 联立直线与抛物线的方程,消元得一元二次方程并得两根之间的关系,由MA·MB=0进行坐标运算解未知量k. 抛物线C的焦点为F?2,0), 则直线方程为y=k?x-2), 与抛物线方程联立,
消去y并化简得k2x2-?4k2+8)x+4k2=0. 设点A?x1,y1),B?x2,y2), 8
则x1+x2=4+2,x1x2=4.
k8
所以y1+y2=k?x1+x2)-4k=,
ky1y2=k2[x1x2-2?x1+x2)+4]=-16.
→→因为MA·MB=?x1+2,y1-2)·?x2+2,y2-2)=?x1+2)?x2+2)+?y1-2)?y2-2)=x1x2+2?x1+x2)+y1y2-2?y1+y2)+8=0,
将上面各个量代入,化简得k2-4k+4=0, 所以k=2.
9.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点?0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是? ) A.
17
2
B.3
C.5
9D. 2
[答案] A
3
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1
[解析] 如图,由抛物线的定义知,点P到准线x=-的距离等于点
2P到焦点F的距离.因此点P到点?0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点?0,2)的距离与点P到点F的距离之和,其最小值1
为点M?0,2)到点F?,0)的距离,则距离之和的最小值为
217. 2
10.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=________. [答案] 8
[解析] 如图所示,直线AF的方程为y=-3?x-2),与准线方程x=-2联立得A?-2,43).
设P?x0,43),代入抛物线y2=8x,得8x0=48,∴x0=6, ∴|PF|=x0+2=8.
11.已知动圆M经过点A?3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程. 解 方法一 设动点M?x,y),设⊙M与直线l:x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,所以点M的轨迹是抛物线,且以A?3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线, p
∴=3,∴p=6. 2
∴圆心M的轨迹方程是y2=12x.
方法二 设动点M?x,y),则点M的轨迹是集合 P={M||MA|=|MN|}, 即
?x-3?2+y2=|x+3|,化简,得y2=12x.
14+=4
∴圆心M的轨迹方程为y2=12x.
1?1,0的距离比它到y轴的距离大. 12.已知点A?3,2),点M到F??2?2?1)求点M的轨迹方程;
?2)是否存在M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
4
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1?11
,0的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F?,0?的距离解 ?1)由于动点M到F??2??2?21
与它到直线l:x=-的距离相等,由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准
2p1
线的抛物线,其方程应为y2=2px ?p>0)的形式,而=,∴p=1,2p=2,
22故轨迹方程为y2=2x.
?2)如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当A、M、N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,这时M的纵坐标为2,可设M?x0,2)代入抛物线方程得x0=2,即M?2,2). 三、探究与拓展
13.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点?AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过点Q?6,0),求抛物线的方程.
解 设抛物线的方程为y2=2px ?p>0), p则其准线为x=-.
2设A?x1,y1),B?x2,y2),
pp
∵|AF|+|BF|=8,∴x1++x2+=8,
22即x1+x2=8-p.
∵Q?6,0)在线段AB的中垂线上, ∴|QA|=|QB|, 即
?6-x1?2+?-y1?2=
?6-x2?2+?-y2?2,
2
又y21=2px1,y2=2px2,
∴?x1-x2)?x1+x2-12+2p)=0. ∵AB与x轴不垂直,∴x1≠x2.
故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4. 从而抛物线方程为y2=8x.
5
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