高中数学选修2-1课时作业
2.4.1 抛物线及其标准方程
一、基础过关
1.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是? ) A.?2,0) C.?4,0) [答案] B
[解析] ∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为?－2,0).
x2y2
2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为
42? ) A.y2＝8x C.y2＝2x [答案] D
x2y2
[解析] 由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为?－2,0)或?2,0)，所以抛物线
42的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
3.已知抛物线y2＝2px ?p>0)的准线与圆?x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为? ) 1A. 2
B.1
C.2
D.4
B.y2＝4x D.y2＝±8x
B.?－2,0) D.?－4,0)
[答案] C
1
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pp
－?＝4，p＝2. [解析] 抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－??2?24.抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为? ) 7
，0? A.?16??7
－，0? C.??16?[答案] C
77[解析] 方程化为y2＝－x，抛物线开口向左，2p＝，
447p7
－，0?. ＝，故焦点坐标为??16?216
5.若一动点到点?3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则该点的轨迹是? ) A.椭圆
B.双曲线 D.抛物线
7
－，0? B.??4?70，－? D.?4??
C.双曲线的一支 [答案] D
[解析] 已知条件可等价于“动点到点?3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线.
x2y2
6.以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.
169[答案] y2＝16x
x2y2
[解析] ∵双曲线的方程为－＝1，
169∴右顶点为?4,0).
设抛物线的标准方程为y2＝2px ?p>0)，
p
则＝4，即p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝16x. 2
7.已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离.
1
解 如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A、B、M分别
2作AA′、BB′、MM′垂直于l，垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB的中点，由梯形中位线定理得
2
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1111331
|MM′|＝?|AA′|＋|BB′|)＝?|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1
2222222?当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)，所以dmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1. 二、能力提升
8.已知抛物线C：y2＝8x与点M?－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.→→
若MA·MB＝0，则k的值为 ? ) 1A. 2
B.2 2
C.2 [答案] D
D.2
→→
[解析] 联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由MA·MB＝0进行坐标运算解未知量k. 抛物线C的焦点为F?2,0)， 则直线方程为y＝k?x－2)， 与抛物线方程联立，
消去y并化简得k2x2－?4k2＋8)x＋4k2＝0. 设点A?x1，y1)，B?x2，y2)， 8
则x1＋x2＝4＋2，x1x2＝4.
k8
所以y1＋y2＝k?x1＋x2)－4k＝，
ky1y2＝k2[x1x2－2?x1＋x2)＋4]＝－16.
→→因为MA·MB＝?x1＋2，y1－2)·?x2＋2，y2－2)＝?x1＋2)?x2＋2)＋?y1－2)?y2－2)＝x1x2＋2?x1＋x2)＋y1y2－2?y1＋y2)＋8＝0，
将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0， 所以k＝2.
9.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点?0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是? ) A.
17
2
B.3
C.5
9D. 2
[答案] A
3
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1
[解析] 如图，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离等于点
2P到焦点F的距离.因此点P到点?0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点?0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值1
为点M?0,2)到点F?，0)的距离，则距离之和的最小值为
217. 2
10.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________. [答案] 8
[解析] 如图所示，直线AF的方程为y＝－3?x－2)，与准线方程x＝－2联立得A?－2,43).
设P?x0,43)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6， ∴|PF|＝x0＋2＝8.
11.已知动圆M经过点A?3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解 方法一 设动点M?x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A?3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线， p
∴＝3，∴p＝6. 2
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
方法二 设动点M?x，y)，则点M的轨迹是集合 P＝{M||MA|＝|MN|}， 即
?x－3?2＋y2＝|x＋3|，化简，得y2＝12x.
14＋＝4
∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.
1?1，0的距离比它到y轴的距离大. 12.已知点A?3,2)，点M到F??2?2?1)求点M的轨迹方程；
?2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.
4
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1?11
，0的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F?，0?的距离解 ?1)由于动点M到F??2??2?21
与它到直线l：x＝－的距离相等，由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准
2p1
线的抛物线，其方程应为y2＝2px ?p>0)的形式，而＝，∴p＝1,2p＝2，
22故轨迹方程为y2＝2x.
?2)如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M?x0,2)代入抛物线方程得x0＝2，即M?2,2). 三、探究与拓展
13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点?AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q?6,0)，求抛物线的方程.
解 设抛物线的方程为y2＝2px ?p>0)， p则其准线为x＝－.
2设A?x1，y1)，B?x2，y2)，
pp
∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，
22即x1＋x2＝8－p.
∵Q?6,0)在线段AB的中垂线上， ∴|QA|＝|QB|， 即
?6－x1?2＋?－y1?2＝
?6－x2?2＋?－y2?2，
2
又y21＝2px1，y2＝2px2，
∴?x1－x2)?x1＋x2－12＋2p)＝0. ∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线方程为y2＝8x.
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