苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？奇 偶 性
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2017·温州高一检测)函数f(x)=A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 【解析】选B.因函数f(x)=且f(-x)=
=
的定义域为R,
=f(x),故f(x)为偶函数.
( )
2.(2017·商丘高一检测)下列函数是偶函数的是 ( ) A.f(x)=|x-3|
B.f(x)=x+x
2
C.f(x)=x-x
2
D.f(x)=
【解析】选D.A,B,C选项中的定义域均为实数集R,但f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以都为非奇非偶函数,只有选项D中f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称. 【补偿训练】下面四个结论中正确的个数为 ( ) ①偶函数的图象一定与y轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y轴对称;
④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0. A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,如y=,故①错,③对;奇
函数的图象不一定通过原点,如y=,故②错;既奇又偶的函数除了满足f(x)=0,还要满足定义域关于原点对称,④错,故选A.
3.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有 ( )
苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？A.f(x)-f(-x)>0 C.f(x)·f(-x)≤0
B.f(x)-f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0
【解析】选C.奇函数满足f(-x)=-f(x), 所以f(-x)·f(x)≤0.
4.(2017·吉林高一检测)已知f(x)=x+ax+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)= ( ) A.-15 C.10
7
7
5
5
B.15 D.-10
【解析】选A.设g(x)=x+ax+bx,则g(x)为奇函数,
因为f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5,所以g(3)=-10,所以f(3)=g(3)-5=-15.
【一题多解】选A.f(-3)=(-3)+a(-3)+(-3)b-5=-(3+a·3+3b-5) -10=-f(3)-10=5,所以f(3)=-15.
5.函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能 是 ( )
7
5
7
5
【解析】选A.由图象知y=f(x)为偶函数,
y=g(x)为奇函数,所以y=f(x)·g(x)为奇函数且x≠0,由图象知x∈时
f(x)>0,g(x)<0,x∈时f(x)<0,g(x)<0,所以x∈时y=f(x)·g(x)<0,
x∈时,y=f(x)·g(x)>0.
6.(2017·温州高一检测)如图是一个由集合A到集合B的映射,这个映射表示的是 ( )
苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？
A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数 C.奇函数且偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
【解析】选C.因为f(x)=0,x∈{-2,2},满足f(-x)=±f(x).所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数.
7.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x+x+1,则f(1)+g(1)= ( ) A.-3
B.-1
C.1
D.3
3
2
【解析】选C.把x=-1代入已知得f(-1)-g(-1)=1,所以f(1)+g(1)=1.
8.(2017·冀州高一检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为 ( ) A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选B.因为f(x+2)=-f(x),所以f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0),又f(x)是定义域上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(6)=0. 二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-7,则f(-2)=________. 【解析】因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(2×2-7)=-1. 答案:-1
10.(2017·西安高一检测)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x+x-2,则f(x)=________,g(x)=________. 【解析】f(-x)+g(-x)=x-x-2, 由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得, f(x)-g(x)=x-x-2,又f(x)+g(x)=x+x-2, 两式联立得:f(x)=x-2,g(x)=x. 答案:x-2 x
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2
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苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？
三、解答题(每小题10分,共20分) 11.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=
2
+.
(2)f(x)=x+|x+a|+1.
(3)f(x)=
【解析】(1)f(x)的定义域为,不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)①当a=0时,f(x)为偶函数.
②当a≠0时,因为对所有x∈R,|x+a|≠|-x+a|. 所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ①当x>0时,-x<0, 则f(-x)=(-x)+3(-x)-1 =-x+3x-1 =-(x-3x+1)=-f(x)
②当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)-3(-x)+1=-x-3x+1 =-(x+3x-1)=-f(x).
由①②知,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 【拓展延伸】判断分段函数奇偶性的步骤 (1)分析定义域是否关于原点对称.
(2)对x进行分段讨论,寻求f(-x)与f(x)在各段上的关系.
(3)综合(2)在定义域内f(-x)与f(x)的关系,从而判断f(x)的奇偶性.
3
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3
2
3
2
3
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2
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12.(2017·北京高一检测)已知函数f(x)=x-2x,设g(x)=·f(x+1).
2
苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？(1)求函数g(x)的表达式,并求函数g(x)的定义域. (2)判断函数g(x)的奇偶性,并证明. 【解析】(1)由f(x)=x-2x,得f(x+1)=x-1,
2
2
所以g(x)=·f(x+1)=(2)结论:函数g(x)为奇函数.
,定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
证明:由(1)知,g(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且g(-x)=所以,函数g(x)为奇函数. 【能力挑战题】
(2017·成都高一检测)已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数.
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12). 【解析】(1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y), 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x), 令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 所以f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数. (2)因为f(x)为奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a. 又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3), 所以f(12)=-4a.
=-g(x),
2017_2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性课后提升训练新人教A版必修1
