学 习 资 料 专 题
3.1.2 复数的几何意义
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．对于复平面，下列命题中真命题是( ) A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的
B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的 C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的 D．实轴上一侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的
解析：A中纯虚数所对应的点不在象限内；B中的点应在第三象限；C中若复数z为负实数，则在x轴负半轴上，故选D.
答案：D
2
2．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
3A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
21
解析：∵＜m＜1，∴2＜3m＜3，－＜m－1＜0，
33∴0＜3m－2＜1，
∴z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限． 答案：D
3．下列命题中为假命题的是( ) A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零 C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D．复数z1＞z2的充要条件是|z1|＞|z2|
解析：A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝a＋b≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0??
?a＝0???b＝0
2
2
?|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、
b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，
∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．
唐玲
答案：D
4．已知0 2 B．(1，5) D．(1,5) 解析：∵|z|＝a＋1，a∈(0,2)，∴|z|∈(1，5)．故选B. 答案：B 5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) α A．2cos 2α C．2sin 2解析：|z|＝ 1＋cos α 4cos 2 2 α B．－2cos 2α D．－2sin 2＋sinα 2 ＝2＋2cos α＝ α， 2 πα ∵π＜α＜2π，∴＜＜π， 22α ∴cos＜0， 2α ∴|z|＝－2cos. 2答案：B 6．复数(a－3)＋(b－2)i (a，b∈R)，在复平面内对应的点为坐标原点，则a＋b＝________. 解析：由题意知a－3＝0，b－2＝0，∴a＋b＝5. 答案：5 7．已知复数x－6x＋5＋(x－2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是________． ?x－6x＋5＜0? 解析：由已知得? ??x－2＜0 2 2 ?1＜x＜5? ????x＜2 ?1＜x＜2. 答案：(1,2) 8．已知复数z＝x－2＋yi的模是22，则点(x，y)的轨迹方程是________． 解析：由模的计算公式得答案：(x－2)＋y＝8 9．在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数． 2 2 x－ 2 ＋y＝22，∴(x－2)＋y＝8. 222 唐玲 解析：由已知得向量OA＝(0,1)， →→→OB＝(1,0)，OC＝(4,2)， ∴BA＝(－1,1)，BC＝(3,2)， ∴BD＝BA＋BC＝(2,3)， ∴OD＝OB＋BD＝(3,3)， 即点D对应的复数为3＋3i. 10．已知复数z＝(a－1)＋(2a－1)i，其中a∈R，当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y＝4x上． 解析：复数z＝(a－1)＋(2a－1)i在复平面内对应的点是(a－1,2a－1)． 1 (1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝； 2(2)若z对应的点在第三象限，则有 ??a－1＜0，? ?2a－1＜0.? 2 2 2 2 2 →→→→→→→→ 2 1 解得－1＜a＜； 2 2 (3)若z对应的点在抛物线y＝4x上，则有 (2a－1)＝4(a－1)，即4a－4a＋1＝4a－4， 5 解得a＝. 4 [B组 能力提升] 1．已知复数z满足|z|－2|z|－3＝0，则复数z对应的点的轨迹是( ) A．一个圆 C．2个点 B．线段 D．2个圆 2 2 2 2 2 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|－2|z|－3＝(|z|－3)(|z|＋1)＝0，得|z|＝3，即x＋y＝3，所以x＋y＝9， 故复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆． 答案：A 2．已知复数z＝3＋4i所对应的向量为OZ，把OZ依逆时针旋转θ得到一个新向量为OZ1.若OZ1对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是( ) A．3i B．4i 222 2 →→→→唐玲 C．5i D．－5i 解析：OZ1＝|OZ|＝3＋4＝5，由于新向量OZ1对应的点Z1在虚轴上，则新向量OZ1 →→22 →→＝(0,5)，即新向量OZ1对应的复数是5i. 答案：C 3．已知实数m满足不等式|log2m＋4i|≤5，则m的取值范围为________． 解析：由题意知(log2m)＋16≤25，即(log2m)≤9，－3≤log2m≤3， 1－33 所以2≤m≤2，即≤m≤8. 81 答案：≤m≤8 8 4．设z1＝1＋i，z2＝－1＋i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A，B，O为原点， 2 2 →则△AOB的面积为________． 解析：在复平面内，z1，z2对应的点 A(1,1)，B(－1,1)， 如图，连接AB交y轴于C. ∵|z1|＝|z2|＝2， ∴△AOB是等腰三角形． ∵|AB|＝[1－－|OC|＝1， 11 ∴S△AOB＝|AB|·|OC|＝×2×1＝1. 22答案：1 1 5．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)． 2 (1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围； (2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值． 解析：(1)由已知，得 log2???1log??2 ＋m＜0， ①－m＜0， ② 2 ＋－ 2 ＝2， 解①得，－1＜m＜0. 解②得，m＜2. 故不等式组的解集为－1＜m＜0， ∴m的取值范围是－1＜m＜0. 唐玲 1 (2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上， 21 即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0， 2∴log2(1＋m)(3－m)＝1， ∴(1＋m)(3－m)＝2， ∴m－2m－1＝0， ∴m＝1±2，且当m＝1±2时都能使1＋m＞0，且 3－m＞0， ∴m＝1±2. 6．设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(? U2 B)， 求复数z在复平面内对应的点的轨迹． 解析：因为z∈C，所以|z|∈R，所以1－|z|∈R， 由||z|－1|＝1－|z|得1－|z|≥0， 即|z|≤1， 所以A＝{z||z|≤1，z∈C}． 又因为B＝{z||z|<1，z∈C}， 所以?UB＝{z||z|≥1，z∈C}． 因为z∈A∩(?UB)等价于z∈A，且z∈?UB， ??|z|≤1，所以? ?|z|≥1? ?|z|＝1，由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点的轨 迹是以原点为圆心，以1为半径的圆. 唐玲
高中数学第三章3.1.2复数的几何意义优化练习新人教A版选修285
