第八章 反常积分
习 题 8.1 反常积分的概念和计算
⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。一个带电量?q的点电荷产生 x 的电场对距离r处的单位正电荷的电场力为F?k常数），求距电场中心x处的电位。 解 U??kx??q（k为r2q
图8.1.4
qkq。 dr?2xr????⒉ 证明：若?af(x)dx和?ag(x)dx收敛，k1和k2为常数，则?a?k1f(x)?k2g(x)?dx也收敛，且
?????????a[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1?A??af(x)dx?k2?g(x)dx。
a??证 设?af(x)dx?lim?af(x)dx，?ag(x)dx?lim?ag(x)dx，则 A???A???A?lim??kf(x)?kg(x)dx??k1f(x)?k2g(x)?dx 2?a1A???a??A?k1lim?A???aAf(x)dx?k2lim?A???aAg(x)dx?k1?af(x)dx?k2?ag(x)dx。
????⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：
⑴ ?0??e?2xsin5xdx;
⑵ ?0e?3xcos2xdx;
??⑶ ?????1dx;
x2?x?12 ⑷
?0??1dx
(x2?a2)(x2?b2)(a?0,b?0);
⑸ ?0??xeaxdx(a?R); 1dx;
(x2?1)3/2 ⑹ ?2??1dx(p?R); pxlnx⑺ ???⑼ ?0?? ⑻ ?0(ex?e?x)2dx;
dx。 ⑽ ?01?x2????1??1dx； x4?1lnx第 267 页
解（1）?0e?2xsin5xdx???0e?2xdcos5x???0e?2xcos5xdx
555?12???2x14????0edsin5x???0e?2xsin5xdx， 525525??1??12??所以
?0e?2xsin5xdx?????5。 29（2）?0e?3xcos2xdx??0e?3xdsin2x??0e?3xsin2xdx
22??3???3x39???3xedcos2x???ecos2xdx， ?404401??3??所以
?0e?3xcos2xdx?（3）???????3。 1321??dx????x2?x?111??3????x?????2??2????2?32dx?2?2x?1?d???? 2???3?2x?1??3?1??????3???1?23arctan2x?13????。
（4）当a?b时，
?0???11?dx(x2?a2)(x2?b2)b2?a2?0???11??2?x?a2x2?b2??dx ?1b2?a2????????； ?2a2b2ab(a?b)??当a?b时，
?0???11dx?(x2?a2)2a2?0???1x2??x2?a2?(x2?a2)2???dx ???2a3?12a2?0??xd(1?1)??x2?a22a32a2?0??dx??????， 22333x?a2a4a4a此结果等于在a?b时的结果中以b?a代入后的结果。 （5）当a?0时积分发散；当a?0时，
第 268 页
?0??xeaxdx?21??ax212。 ed(ax)???02a2a（6）当p?1时积分发散；当p?1时，
?2??11?p?1dx?(lnx)?p?1xlnpx??2?1(ln2)?p?1。 p?1（7）令x?tant，则
1???(x2?1)3/2dx?????2?costdt?2。
2?（8）令ex?t，则
?0??1tdt1?????dx?1(1?t2)2(ex?e?x)22(1?t2)??1?1。 4（9）利用第六章第3节习题1(10)的结果
12x2?2x?122dx?ln?arctan(2x?1)?arctan(2x?1)?C， ?x4?12844x?2x?1即可得到
?0（10）?0?????1dx?。 4x?122lnx?01?x2dx?1lnxdx?21?x?1??lnxdx, 21?x1t对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换x?，则
?1所以
??lnx1lntdx??dt， ?2201?x1?t?0??lnxdx?0。 21?x⒋ 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）：
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⑴ ?1x01?x2dx; ⑵ ?e11x1?ln2xdx; ⑶ ?2x111x?1dx; ⑷ ?0(2?x)1?xdx;
⑸ ?11?sin1dx ⑹ ?21?1x3x2; 0tanxdx;
解（1）?1x01?x2dx??11d(1?x2)2?0?(?1?x2)11?x20?1。 （2）?e11x1?ln2xdx??e11?arcsin(lnx)e??。 1?ln2d(lnx)x12（3）令x?1?t，则
?2x1x?1dx?2?180(1?t2)dt?3。 （4）令1?x?t，则
?110(2?x)1?xdx?2?1dt01?t2??2。
（5） ?1111?1x3sinx2dx??01?1x3sinx2dx??110x3sin1x2dx。 ?110x3sin1x2dx??112?0sin1x2d(1x2)?1112(cosx2)0?， 由于xlim1?0?2(cos1x)极限不存在，所以积分?11120x3sinx2dx发散；同理积分?01?1x3sin1x2dx也发散。
（6）令tanx?t，再利用上面习题3（9），得到
??21dt0tanxdx?2???01?t4??2。 第 270 页
n⒌ 求极限limn??n!。 n1n!1nk?lim?ln??0lnxdx??1, 解 limlnn??n??nk?1nnn所以
nn??limn!1?。 ne⒍ 计算下列反常积分： (1) ?0lncosxdx; (3) ?0xcotxdx;
2?2 (2) ?0xlnsinxdx。 (4) ?0
1??arcsinxdx; x(5) ?01lnxdx。 1?x2解 (1) 令x??2?2?t, 再利用例8.1.11，得到
??0lncosxdx??02lnsintdt???2ln2。
(2) 令x???t, 由
?0得到
?xlnsinxdx??0?lnsintdt??0tlnsintdt,
???0xlnsinxdx?2?0lnsinxdx???02lnsinxdx??(3) ?02xcotxdx??02xdlnsinx?(xlnsinx)(4) 令t?arcsinx, 得到
??????22ln2。
??20???02lnsinxdx??2ln2。
?01arcsinx?xdx??20tcottdt??2ln2。
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