矩阵知识点归纳
(一)二阶矩阵与变换
1．线性变换与二阶矩阵
在平面直角坐标系
xOy 中，由
x′＝ ax＋ by，
(其中 a，b， c，d 是常数 )构成的变换称
为线性变换．由四个数
y′＝ cx＋ dy，
a， b， c， d 排成的正方形数表
a b
称为二阶矩阵，其中 a， b， c，
d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母 所在的行和列 )．
c d
A， B， C，?或 (aij )表示 (其中 i ， j 分别为元素 aij
2．矩阵的乘法
行矩阵 [a11a12] 与列矩阵
b11 b21
的乘法规则为
[a11a12]
b11 b21
＝ [a11b11 ＋ a12b21] ，二阶矩阵
a b
与列矩阵
x y
的乘法规则为
a b c d
；
x y
＝
ax＋ by cx＋ dy
.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律
c d
和消去律．
3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵
M ＝
1 0
0 1
(2)旋转变换 Rθ对应的矩阵是
M ＝
cos θ － sin θ
；
1 0
sin θ cos θ
M 1＝ (3) 反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于 x 轴对称，则变换对应矩阵为
0 －1 0
；若关于 y 轴对称，则变换对应矩阵为 M 2＝ ；若关于坐标原点对称，则
－ 1 0 1
－ 1 0
变换对应矩阵 M 3＝
0 － 1
；
(4)伸压变换对应的二阶矩阵
0 k2
坐标变为原来的 k2 倍， k1， k2 均为非零常数；
M ＝
k1
0
，表示将每个点的横坐标变为原来的
k1 倍，纵 1
0
(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于
x 轴的投影变换的矩阵为
M ＝
(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿
x 轴平移 |ky|个单位，则对应矩阵 M ＝
M ＝
0 0 1 k 0 1
；
，
若沿 y 轴平移 |kx|个单位，则对应矩阵
1 0
.(其中 k 为非零常数 )．
k 1
4．线性变换的基本性质
λx x x1 x2
设向量 α＝ ，β＝ ，规定实数 λ与向量 α的乘积 λα＝ ；设向量 α＝ ，规定
λy y y1 y2
x1＋ x2
. 向量 α与 β的和 α＋β＝
y1＋ y2
(1)设 M 是一个二阶矩阵， α、β是平面上的任意两个向量， λ是一个任意实数， 则① M (λα) ＝λMα ，② M (α＋ β)＝ Mα ＋ Mβ.
(2)二阶矩阵对应的变换 (线性变换 )把平面上的直线变成直线
(或一点 )．
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(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
1．矩阵的逆矩阵
(1)一般地，设 ρ是一个线性变换，如果存在线性变换
可逆．并且称 σ是 ρ的逆变换．
σ，使得 σρ＝ ρσ＝ I，则称变换 ρ
(2)设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BA＝ AB＝ E，则称矩阵 A 可逆， 或称矩阵 A 是可逆矩阵，并且称 B 是 A 的逆矩阵．
(3)( 性质 1)设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的． A 的逆矩
－
阵记为 A1．
－ 1 －1 －1
(4)( 性质 2)设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且 (AB) ＝B (5)已知 A，B， C 为二阶矩阵，且 AB＝AC，若矩阵 A 存在逆矩阵，则 B＝ C.
A .
(6)对于二阶可逆矩阵 A＝
a b
(ad－ bc≠ 0)，它的逆矩阵为
A ＝
－ 1
d
ad－ bc
－ b ad－ bc a
ad－ bc
.
c d
－ c ad－ bc
2．二阶行列式与方程组的解
对于关于 x， y 的二元一次方程组
ax＋by＝ m， cx＋ dy＝ n，
a b
我们把
a c
b d
称为二阶行列式，它的
运算结果是一个数值
(或多项式 )，记为 det(A) ＝ ＝ad－ bc.
若将方程组中行列式
D x x＝ D ，
a b c d
记为 D，
m b n d
c d
记为 Dx，
a c
m
记为 Dy，则当 D≠ 0 时，
n
方程组的解为
Dy y＝ D .
3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念
设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数
λ，存在一个非零向量
α，使得 Aα＝ λα，那么 λ
称为 A 的一个特征值， α称为 A 的一个属于特征值
(2)特征多项式
a b
λ的一个特征向量．
设 λ是二阶矩阵 A＝ 的一个特征值， 它的一个特征向量为 α＝
(*)
x y
，则 A
x y
＝ λ ，
x y
即
ax＋ by＝λx，
也即 a
b
c d λ－ a x－ by＝ 0，
2
cx＋ dy＝ λy，
定义：设 A＝
－cx＋ λ－ d y＝ 0.
是一个二阶矩阵， λ∈R ，我们把行列式
f(λ)＝
λ－ a －b － c
＝ λ－ (a
c d
＋d)λ＋ ad－ bc 称为 A 的特征多项式．
λ－d
A 的特征多项式的一个根， 即 f( λ)
x0 x0
＝0，此时，将 λ代入二元一次方程组 (*) ，就可得到一组非零解 ，于是非零向量 即为
y0 y0
A 的属于 λ的一个特征向量
．
(3)矩阵的特征值与特征向量的求法
如果 λ是二阶矩阵 A 的特征值， 则 λ一定是二阶矩阵
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所有变换矩阵
1 0
单位矩阵： M
，点的变换为 ( x, y) ( x, y)
0 1
伸压变换矩阵： M
k 0 ： k
1 ，将原来图形横坐标扩大为原来 k 倍，纵坐标不变
反射变换：
旋转变换：
投影变换：
0 1
0 k 1，将原来图形横坐标缩小为原来
k 倍，纵坐标不变
点的变换为 ( x, y) (kx, y)
M1 0
：
k 1 ，将原来图形纵坐标扩大为原来
k 倍，横坐标不变
0 k
0 k 1，将原来图形纵坐标缩小为原来
k 倍，横坐标不变
点的变换为 ( x, y)
(x, ky)
1 0
M
：点的变换为 ( x, y)
(x, y) 变换前后关于 x 轴对称
0 1
M1 0
：点的变换为 ( x, y)
( x, y) 变换前后关于 y 轴对称
0 1
M1 0
：点的变换为 ( x, y)
( x, y)
变换前后关于原点对称
0
1
M0 1
：点的变换为 ( x, y)
( y, x)
变换前后关于直线
y x 对称
1
0
M
cos sin ：逆时针 900 ：M 0
1 ；顺时针 900 ：M 0 1 sin
cos
1
0
1 0
a 旋转变化矩阵还可以设为： Mb
b
a
M1 0 ：将坐标平面上的点垂直投影到
x 轴上
0
0
点的变换为
(x, y) (x,0)
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M
0 0
0 1
：将坐标平面上的点垂直投影到
y 轴上
点的变换为 (x, y) (0, y)
M
1 1
0 0
：将坐标平面上的点垂直于
x 轴方向投影到 y x 上
点的变换为 ( x, y) ( x, x)
M
0 0
1 1
：将坐标平面上的点平行于
x 轴方向投影到 y
x 上
点的变换为
(x, y) ( y, y)
M
22
1 1
：将坐标平面上的点垂直于
y x 方向投影到 y
x 上
1 1 2 2
点的变换为 ( x, y)
切变变换： M
( x y , x y )
2
2
1 k 0 1
：把平面上的点沿
x 轴方向平移 | ky |个单位
点的变换为 ( x, y) ( x ky, y)
M
1 0 k 1
：把平面上的点沿
y 轴方向平移 | kx |个单位
点的变换为 ( x, y)
( x, kx y)
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