二次函数
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:y?ax2的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?0,0? ?0,0? y轴 x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,y有最小值0. x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,y有最大值0. a?0 向下 y轴
2. y?ax2?c的性质: 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?0,c? ?0,c? y轴 x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,y有最小值c. x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,y有最大值c. a?0 向下 y轴
3. y?a?x?h?的性质:
左加右减。 4.
a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h,0? ?h,0? X=h x?h时,y随x的增大而增大;x?h时,y随x的增大而减小;x?h时,y有最小值0. x?h时,y随x的增大而减小;x?h时,y随x的增大而增大;x?h时,y有最大值0. a?0 向下 X=h y?a?x?h??k的性质:
2
三、二图象的
1. 平
方将抛物线化成顶点
2a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h,k? ?h,k? X=h x?h时,y随x的增大而增大;x?h时,y随x的增大而减小;x?h时,y有最小值k. x?h时,y随x的增大而减小;x?h时,y随x的增大而增大;x?h时,y有最大值k. 次函数平移
移步骤: 法一:⑴ 解析式转式
a?0 向下 X=h y?a?x?h??k,确定其顶点坐标?h,k?;
k?处,具体平移方法如下: ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变,将其顶点平移到?h,向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:
⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,y?ax?bx?c变成
22y?ax2?bx?c?m(或y?ax2?bx?c?m)
⑵y?ax?bx?c沿轴平移:向左(右)平移m个单位,y?ax?bx?c变成y?a(x?m)?b(x?m)?c(或
222y?a(x?m)2?b(x?m)?c)
四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看,y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x?,其中h??,. k???2a?4a2a4a?222
五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k,确定其开口方向、对称轴及顶
c?、c?点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点?0,以及?0,c?、0?,关于对称轴对称的点?2h,与x轴的交点?x1,则取两组关于对称轴对称的点). ?x2,0?(若与x轴没有交点,
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为x??,顶点坐标为??,?.
2a4a2a??4ac?b2bbb当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y随x的增大而增大;当x??时,y有最小值.
4a2a2a2a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时,抛物线开口向下,对称轴为x??,顶点坐标为??,时,y随x的增大而?.当x??2a4a2a2a??4ac?b2bb增大;当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y有最大值.
4a2a2a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0); 2. 顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k为常数,a?0);
3. 两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中,a作为二次项系数,显然a?0.
⑴ 当a?0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; ⑵ 当a?0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在a?0的前提下,
当b?0时,?当b?0时,?当b?0时,?b?0,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 2ab?0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2ab?0,即抛物线对称轴在y轴的右侧. 2a⑵ 在a?0的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b?0时,?当b?0时,?b?0,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 2ab?0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2a