x?R2?R22?R?则扇形面积S=，其中，变量x前面的是常数，故选（A）． 360260x36030．因为白色瓷砖和灰色瓷砖面积相同，所以宝物藏在两种瓷砖下的可能性一样大，故选（D）． 二、填空题
31．3 32．1 33．答案不惟一 34．9 35．14 36．> 37．> 38．0 39．x<-3 40．20 41．
1 42．-3 43．±3 44．-2 45．±5 46．±1 47．10000 200748．5 49．32+127 50．±22 51．22；2；2 52．（42，0） 53．3 23 254．①④⑤ 55．5 56．5；8；10；4 57．6 58．53 59．35 60．61．3；1；1 62．b 63．2 64．17 65．4 66．34 67．1 68．8.5折 69．18或15 70．1260；84 71．0.85a；0.92a
72．n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n是正整数) 73．110 74．25;0.64 75．216.5 76．6.5 77． 78．10或26 79．-2005
解析:
31．令a=2008，b=2007，c=2006，则
原式=a+b+c-ab-bc-ca=
2
2
2
1222
[（a-b）+（b-c）+（c-a）]=3 232．根据：当n是正整数时，（xn+xn-1+…+x2+x+1）（x-1）=xn+1-1，知原式=x2007-1=1． 33．a+b，b+c，c+a中有一个或两个是0即可，如：a=-b；或a=c=1，b=-1．
34．译文：如果m，n是正整数，满足m3+27mn+n3=729，m+n>mn，则m+n的值是_____．
因为m+n>mn，所以m+n-mn-1>-1，即（m-1）（n-1）<1，而m，n是正整数， 所以（m-1）（n-1）=0，m=1或n=1，若m=n=1，不符合题意，舍去．
所以m，n中有且只有一个是1，不妨设n=1，则m+27m+1=729，得m+27m-728=0， 即（m-512）+（27m-216）=0，（m-8）（m+8m+64）+?27（m-8）=0，（m-8）（m+8m+91）=0，
- 21 -
2
3
2
所以m=8或m2+8m+91=0，而m2+8m+91=0无实根，故只能m=8，于是m+n=9． 35．从后一个括号内的各数提出因子6．
则原式=6（2+3+5）（2+3-5）+2 =6（（2+3）-（5）+2
2
2
=6（5+26-5）+2=14
36．可以构造商式比较大小，由于A>0，B>0，
A20072007?20082008?200920092009所以?>1，所以A>B． ?B(2007?2008?2009)2009200737.A?2008?20062008?200612?2008?2006?2008?20062008?2006而2008?2006?22007?(2008?2007)?(2007?2006)?11??02008?20072007?2006
2008?2006?2007211即?AB所以 又A>0，B>0， 所以A>B 38．原式=x?8?216162?8?x?8??8=0 22xx1，则不等式bx-a<0?的解集为339．译文：如果a，b为常数，且不等式ax+b>0的解集是x<
- 22 -
不等式ax+b>0，即ax>-b 题设它的解是：x<
1b1，所以a<0，且-= 3a3a=-3，即x<-3 b 即a=-3b，所以b>0 则不等式bx-a<0的解集为x<
40．考虑极端情况，假设小明答题只有答对和答错两种情况，且他答对x道题，?由题设条件可得4x-4（25-x）≥60， 解得x≥20，
所以他至少要答对20道题． 41．由题设的
x2a?xyy2x2xyy2 2b2?c2?1,c2?b2?a2?1，
两式相减，得x2?y2y2?x2a2?c2=0． 所以（x2
-y2
）（
1a2?1c2）=0 因为a≠c，且a，c为正数 所以
1a2?1c2≠0， 所以x2
-y2
=0．
由x，y均为正数，且x+y=6223，得x=y=3223=2007 将x=y=2007代入已知式中，得1a2?1b2?11c2=2007． 42．若方程
4?axx?2=3有解，则应有x≠-2， 于是有4-ax=3x+6， x=-
23?a． - 23 -
显然，必须a≠-3．
因此，当a=-3时，方程无解． 43．题设，
mm1?=-， m?nm?n412m2 即2=-， 24m?nm2?n2 也即=-8，
m2n2
）=-8， mn2n （）=9，=±3．
mmabcd1abcd144．当x=2时，7?5?3???7?5?3???3
xxxx222222abcd5 所以7?5?3?=，
22222 即1-（
abcd1当x=2时,7?5?3??xxxx2abcd1???? ? 753(?2)(?2)(?2)(?2)2abcd1?(7?5?3?)?2222 =-2． 45．在
111a?ba?b?-=的两边同乘以（a+b），得=1， ababa?bbaba即（1+）-（+1）=1，也即-=1．
ababbababab2a2ba2ba 又+=±(?)?4=±5，从而2?2=（-）（+）=±5．
abababababab46．由ax+y=1得y=1-ax，代入x+ay=2，得x+a（1-ax）=2，（1-a）x=2-a，
因为方程组有解，所以此方程有解，
- 24 -
2
所以1-a2≠0，这时，方程组有解x=
2?a1?2a2
,y?，又，?若a=1时，如果方程组221?a1?a有解，则在ax+y=1两边同乘以a，得到a2x+ay=a，即x+ay=a，
所以a=2，与a2=1矛盾，综上，知：仅当a≠±1时，原方程组有解 47．由（n-2）an-2-（n-1）an-1+1=0，（2≤n≤100）得
a1=1，a3-2a2=-1，2a4-3a3=-1，3a5-4a4=-1，……98100-9999=-1．
以上各式相加，得98a100-2（a2+a3+…+a99）=98，以a100=199代入，得a2+a3+…+a99=9800，?于是a1+a2+…+a100=1+9800+199=10000． 48．由题可知xy=1，x=
1，代入到题设的等式，得 y 19x2+145+ 19（x2+ x2+
19=2007， x21）=1862， x21=98， 2x1 x2+2+2=100，
x1 （x+）2=100，
x1 所以x+=±10，
x 即a?ba?b2(a?b)=±10，±5（a-b）=a+b， ???10,也即a?ba?ba?b 取正数5a-5b=a+b，则2a=3b，最小，a=3，b=2，a=b=5； 取负数-5a+5b=a+b，则3a=2b，最小，a=2，b=3，a+b=5． 49．由x3+y3+z3=3xyz得 x3+y3+z3-3xyz=0， （x+y）3+z3-3x2y-3xy2=0．
[（x+y）+z]3-3（x+y）2-3（x+y）z2-3x2y-3xy2-3xyz=0，
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2018年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题(含答案)
