玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题03 平面向量中范围、最值等综合问题
一．方法综述
平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．
二．解题策略
类型一 与向量的模有关的最值问题
rrrrrrrrrrr【例1】【2024河北定州中学模拟】设向量a,b,c满足a?b?2， a?b??2， ?a?c,b?c>?60?，
则c的最大值等于（ ） A. 4 B. 2 C.
r2 D. 1
【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理. 【举一反三】
1、【2024辽宁沈阳东北育才学模拟】在Rt?ABC中， ?A?900，点D是边BC上的动点，且
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvAB?3,AC?4,AD??AB??AC(??0,??0)，则当??取得最大值时， AD的值为（ ） 7125 B. 3 C. D. 252A.
vvvvvvv1vv2、【2024湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量a,b满足： a?b?1，且a?b?，若c?xa?yb，其
2v中x?0， y?0且x?y?2，则c的最小值是__________．
3、【2024浙东北联盟联考】已知向量a,b,c，满足a?1,b?2,c?3， 0???1，若b?c?0，则
vvvvvvvvvvva??b??1???c的最大值为_________，最小值为__________．
类型二 与向量夹角有关的范围问题
【例2】已知向量OA与OB的夹角为?，OA?2,OB?1,OP?tOA,OQ?(1?t)OB,PQ在t0时取得最小值，当0?t0??????????1时，夹角?的取值范围为________________. 5【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，
期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】
?????2?2????1、非零向量a,b满足2a?b=ab，|a|?|b|?2，则a与b的夹角的最小值是 ．
2、已知向量=（－2，－1），
=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（ ）
A. B. C. 且λ≠2 D. 无法确定
类型三 与向量投影有关的最值问题
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv【例3】设OA?1,OB?2， OA?OB?0， OP??OA??OB，且????1，则OA在OP上的投影
的取值范围( ) A. ?-?25? B.
?5,1????25? C. ??5,1???OAOP?5? D. ??5,1????5? ??-5,1???【指点迷津】由已知求得???及?，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需
OP要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。
【举一反三】
uuuvuuuvuuuvvuuuvuuuvOA?AB?AC?0CACB1、已知?ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在向量方向上的投
影为( ) A. 3 B.
3 C. -3 D. ?3
2、【2024福建省闽侯第六中学模拟】设OA?1,OB?2,OA?OB?0,OP??OA??OB， 且????1， 则OA在OP上的投影的取值范围（ ） A. ???25?,1? B.
?5???25???5,1? C. ???5???5,1? D. ???5? ???5,1???类型四 与平面向量数量积有关的最值问题
【例4】【2024广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为1的扇形AOB中， ?AOB?2?， P是弧AB3uuuuvuuuv上的一点，且满足OP?OB， M,N分别是线段OA,OB上的动点，则PM?PN的最大值为（ ）
A.
32 B. C. 1 D.
222 【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【举一反三】
1、【2024福建莆田市第二十四中学模拟】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则
uuuruuurDE?DC的最大值为（ ）
A. 1 B.
31 C. D. 2
22uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvAB?AC?BA?BC?CA?CB?62、【2024浙江镇海中学模拟】在平面内， ，动点P， M满足AP?2， uuuuvuuuuvuuuuvPM?MC，则BM的最大值是?A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
3、【2008云南大理市云南师范大学附属中学模拟】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且是圆的一条直径，若点满足A. -1 B. -2 C. -3 D. -4
类型五 平面向量系数的取值范围问题
（
），则
的最小值为（ ）
，
?
【例5】【2024辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形ABCD中， AB?1动点P在以点C为圆心，AD?2，且与BD相切的圆上，若AP??AB??AD，则???的最大值为（ ） A. 3 B. 22 C.
uuuvuuuvuuuv5 D. 2
【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向
量的有关知识可以解决某些函数问题；
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】
uuuvuuuvuuuvuuuv31、【2024重庆第一中学模拟】给定两个单位向量OA， OB，且OA?OB??，点C在以O为圆心的
2
专题2.3-平面向量中范围、最值等综合问题-玩转压轴题-突破140分之高三数学选填题高端精品(原卷版)
