专题复习（一）—— 数列
（一）知识梳理
1、等差数列 （其中m,n,p,q,k?N?）
（1） 等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d 推广形式：an?am?(n?m)d
n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22a?c（3） a，b，c成等差数列?2b?a?c或b?
2（2） 等差数列的前n项和公式：Sn?（4） 已知?an?为等差数列，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq.
特别地，若m?n?2k，则am?an?2ak.
（5） 若?an?为等差数列，前n项和为Sn，
则Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，……也成等差数列.
（6） 等差数列的判定：
① 定义法：an?1?an?d（常数）?数列?an?为等差数列. ② 等差中项法：2an?an?1?an?1?数列?an?为等差数列. （7） 等差数列前n项和Sn?na1?n(n?1)d，则使Sn最大（或最小）的序号n的求法： 2d2d方法一：前n项和公式可以写成Sn?n?(a1?)n，
22因此可以利用二次函数来求n的值；
?an?0方法二：①当a1?0，d?0时，前n项和有最大值，由?求得n的值；
a?0?n?1②当a1?0，d?0时，前n项和有最小值，由?2、等比数列 （其中m,n,p,q,k?N?）
（1）等比数列的通项公式：an?a1qn?1 推广形式：an?amqn?m
?an?0求得n的值.
?an?1?0na1,q?1??（2）等比数列的前n项和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq
?1?q?1?q,q?1?1
（3）a，b，c成等比数列?b?ac或b??ac （4）已知?an?为等比数列，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq.
2特别地，若m?n?2k，则am?. an?ak2（5）若?an?为等比数列，前n项和为Sn，
则Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，……也成等比数列. （6）等比数列的判定：
①定义法：
an?1?q（常数）?数列?an?为等比数列. an2②等比中项法：an?an?1?an?1?数列?an?为等比数列.
3、求数列通项公式的常用方法
（1）已知数列?an?的前n项和Sn?2n2?n?1，求数列?an?的通项公式.
?S1,n?1分析：可以利用公式an??进行求解.
S?S,n?2n?1?n222(n?1)?(n?1)?1?解：当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?n?1????
?2n2?n?1?(2n2?4n?2?n?1?1) ?2n?n?1?2n?3n?2 ?4n?1 ① 当n?1时，a1?S1?4不适合①式
22?4,n?1 ?数列?an?的通项公式为an??4n?1,n?2?（2）已知数列?an?的前n项和Sn?2an?3，求数列?an?的通项公式. 分析：可以利用公式an???S1,n?1?Sn?Sn?1,n?2进行求解.
解：当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?3?(2an?1?3)?2an?2an?1 ?an?2an?1 即
an?2(n?2 )an?12
当n?1时，a1?S1?2a1?3 ?a1??3
n?13?2(n?N?数列?an?是首项为?3，公比为2的等比数列. ?an??? )（3）已知数列?an?中，a1?1，且an?1?an?2n，求数列?an?的通项公式. 分析：形如an?1?an?f(n)可以利用累加法进行求解. 解：?an?1?an?2n ?a2?a1?2 a3?a2?22 a4?a3?23 ……
an?an?1?2n?1(n?2 )将以上各式累加，得an?a1?2?2?2??223n?12?(1?2n?1)??2n?2
1?2?an?2n?2?1?2n?1(n?2) ① 显然a1?1适合①式
?数列?an?的通项公式为an?2n?1(n?N?)
（4）已知数列?an?中，a1?1，且
an?1n，求数列?an?的通项公式. ?ann?1分析：形如
an?1?f(n)可以利用累乘法进行求解. an解：?an?1n ?ann?1a21? a12a32? a23a43? a343
?
……
ann?1 ?an?1naaa2a3a4123n?11，即n? ???n????a1a2a3an?1234na1n将以上各式累乘，得
?an?1(n?2) ① 显然a1?1适合①式 n1?数列?an?的通项公式为an?(n?N?)
n（5）已知数列?an?中，a1?1，且an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式. 分析：形如an?1?man?k可以通过构造一个等比数列?an?p?进行求解. 解：?an?1?2an?3 ?设an?1?p?2( an?p)即an?1?2an?p ?p?3 ?an?1?3?2a(n?3 )即
an?1?3?2 又?a1?3?1?3? 4an?3?数列?an?3?是首项为4，公比为2的等比数列. ?an?3?4?2n?1?2n?1 ?an?2n?1?3(n?N? )（6）已知数列?an?中，a1?1，且an?1?分析：通过取倒数进行求解. 解：?an?1?an，求数列?an?的通项公式.
2an?1an
2an?12a?11111?n?2? ???2 an?1ananan?1an两边取倒数，得
而
?1?1?1 ?数列??是首项为1，公差为2的等差数列. a1?an?11(n?N?) ?1?(n?1)?2?2n?1 ?an?2n?1an
4
?
求数列通项公式练习题
（1）已知数列?an?的前n项和Sn?3n2?n，求数列?an?的通项公式.
（2）已知数列?an?的前n项和Sn?3an?1?4，求数列?an?的通项公式.
（3）已知数列?an?中，a1?1，且an?1?an?2n，求数列?an?的通项公式.
（4）已知数列?an?中，a1?1，且
（5）已知数列?an?中，a1?1，且an?4an?1?3(n?2)，求数列?an?的通项公式.
（6）已知数列?an?中，a1?1，且an?
5
an?1n，求数列?an?的通项公式. ?ann?2an?1(n?2)，求数列?an?的通项公式.
3an?1?1
2018年高中数学微专题复习：专题复习(一)——数列
