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2018年高中数学微专题复习:专题复习(一)——数列

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专题复习(一)—— 数列

(一)知识梳理

1、等差数列 (其中m,n,p,q,k?N?)

(1) 等差数列的通项公式:an?a1?(n?1)d 推广形式:an?am?(n?m)d

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22a?c(3) a,b,c成等差数列?2b?a?c或b?

2(2) 等差数列的前n项和公式:Sn?(4) 已知?an?为等差数列,若m?n?p?q,则am?an?ap?aq.

特别地,若m?n?2k,则am?an?2ak.

(5) 若?an?为等差数列,前n项和为Sn,

则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,……也成等差数列.

(6) 等差数列的判定:

① 定义法:an?1?an?d(常数)?数列?an?为等差数列. ② 等差中项法:2an?an?1?an?1?数列?an?为等差数列. (7) 等差数列前n项和Sn?na1?n(n?1)d,则使Sn最大(或最小)的序号n的求法: 2d2d方法一:前n项和公式可以写成Sn?n?(a1?)n,

22因此可以利用二次函数来求n的值;

?an?0方法二:①当a1?0,d?0时,前n项和有最大值,由?求得n的值;

a?0?n?1②当a1?0,d?0时,前n项和有最小值,由?2、等比数列 (其中m,n,p,q,k?N?)

(1)等比数列的通项公式:an?a1qn?1 推广形式:an?amqn?m

?an?0求得n的值.

?an?1?0na1,q?1??(2)等比数列的前n项和公式:Sn??a1(1?qn)a1?anq

?1?q?1?q,q?1?1

(3)a,b,c成等比数列?b?ac或b??ac (4)已知?an?为等比数列,若m?n?p?q,则am?an?ap?aq.

2特别地,若m?n?2k,则am?. an?ak2(5)若?an?为等比数列,前n项和为Sn,

则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,……也成等比数列. (6)等比数列的判定:

①定义法:

an?1?q(常数)?数列?an?为等比数列. an2②等比中项法:an?an?1?an?1?数列?an?为等比数列.

3、求数列通项公式的常用方法

(1)已知数列?an?的前n项和Sn?2n2?n?1,求数列?an?的通项公式.

?S1,n?1分析:可以利用公式an??进行求解.

S?S,n?2n?1?n222(n?1)?(n?1)?1?解:当n?2时,an?Sn?Sn?1?2n?n?1????

?2n2?n?1?(2n2?4n?2?n?1?1) ?2n?n?1?2n?3n?2 ?4n?1 ① 当n?1时,a1?S1?4不适合①式

22?4,n?1 ?数列?an?的通项公式为an??4n?1,n?2?(2)已知数列?an?的前n项和Sn?2an?3,求数列?an?的通项公式. 分析:可以利用公式an???S1,n?1?Sn?Sn?1,n?2进行求解.

解:当n?2时,an?Sn?Sn?1?2an?3?(2an?1?3)?2an?2an?1 ?an?2an?1 即

an?2(n?2 )an?12

当n?1时,a1?S1?2a1?3 ?a1??3

n?13?2(n?N?数列?an?是首项为?3,公比为2的等比数列. ?an??? )(3)已知数列?an?中,a1?1,且an?1?an?2n,求数列?an?的通项公式. 分析:形如an?1?an?f(n)可以利用累加法进行求解. 解:?an?1?an?2n ?a2?a1?2 a3?a2?22 a4?a3?23 ……

an?an?1?2n?1(n?2 )将以上各式累加,得an?a1?2?2?2??223n?12?(1?2n?1)??2n?2

1?2?an?2n?2?1?2n?1(n?2) ① 显然a1?1适合①式

?数列?an?的通项公式为an?2n?1(n?N?)

(4)已知数列?an?中,a1?1,且

an?1n,求数列?an?的通项公式. ?ann?1分析:形如

an?1?f(n)可以利用累乘法进行求解. an解:?an?1n ?ann?1a21? a12a32? a23a43? a343

?

……

ann?1 ?an?1naaa2a3a4123n?11,即n? ???n????a1a2a3an?1234na1n将以上各式累乘,得

?an?1(n?2) ① 显然a1?1适合①式 n1?数列?an?的通项公式为an?(n?N?)

n(5)已知数列?an?中,a1?1,且an?1?2an?3,求数列?an?的通项公式. 分析:形如an?1?man?k可以通过构造一个等比数列?an?p?进行求解. 解:?an?1?2an?3 ?设an?1?p?2( an?p)即an?1?2an?p ?p?3 ?an?1?3?2a(n?3 )即

an?1?3?2 又?a1?3?1?3? 4an?3?数列?an?3?是首项为4,公比为2的等比数列. ?an?3?4?2n?1?2n?1 ?an?2n?1?3(n?N? )(6)已知数列?an?中,a1?1,且an?1?分析:通过取倒数进行求解. 解:?an?1?an,求数列?an?的通项公式.

2an?1an

2an?12a?11111?n?2? ???2 an?1ananan?1an两边取倒数,得

?1?1?1 ?数列??是首项为1,公差为2的等差数列. a1?an?11(n?N?) ?1?(n?1)?2?2n?1 ?an?2n?1an

4

?

求数列通项公式练习题

(1)已知数列?an?的前n项和Sn?3n2?n,求数列?an?的通项公式.

(2)已知数列?an?的前n项和Sn?3an?1?4,求数列?an?的通项公式.

(3)已知数列?an?中,a1?1,且an?1?an?2n,求数列?an?的通项公式.

(4)已知数列?an?中,a1?1,且

(5)已知数列?an?中,a1?1,且an?4an?1?3(n?2),求数列?an?的通项公式.

(6)已知数列?an?中,a1?1,且an?

5

an?1n,求数列?an?的通项公式. ?ann?2an?1(n?2),求数列?an?的通项公式.

3an?1?1

2018年高中数学微专题复习:专题复习(一)——数列

专题复习(一)——数列(一)知识梳理1、等差数列(其中m,n,p,q,k?N?)(1)等差数列的通项公式:an?a1?(n?1)d推广形式:an?am?(n?m)dn(a1?an)n(n?1)?na1?d22a?c(3)a,b,c成等差数列?2b?a?c或b?2(2)等差数列的前n项和公式:Sn
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