中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析

由天下分享时间：2024/9/15 2:23:47 加入收藏我要投稿点赞

考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、

【例1】.某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价

15元，售价20

元；乙商品每件进价35元，售价45元．

(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润＝售价－进价)?

解：(1)设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意，得

???x＋y＝100，?x＝40，?解得：? ?15x＋35y＝2 700，???y＝60.

答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件．

(2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100－a)件，根据题意列，得

??15a＋35100－a≤3 100，?解得20≤a≤22. ?5a＋10100－a≥890，?

∵总利润W＝5a＋10(100－a)＝－5a＋1 000，W是关于x的一次函数，W随x的增大而减小，

∴当x＝20时，W有最大值，此时W＝900，且100－20＝80，

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．

【例2】．今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用

水，某校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量(单位：吨) 单价(单位：元/吨) 1.5 不大于10吨部分 2 大于10吨，且不大于m吨部分(20≤m≤50) 3 大于m吨部分 (1)若某用户六月份的用水量为18吨，求其应缴纳的水费； (2)记该用户六月份的用水量为x吨，缴纳水费y元，试列出y关于x的函数式；

(3)若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤90，试求m的取值范围．

解：(1)应缴纳水费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)． (2)当0≤x≤10时，y＝1.5x；

当10

当x>m时，y＝15＋2(m－10)＋3(x－m)＝3x－m－5.

1.5x 0≤x≤10，??

∴y＝?2x－5 10

??3x－m－5 x>m.

(3)当40≤m≤50时，y＝2×40－5＝75(元)，满足．当20≤m<40时，y＝3×40－m－5＝115－m，则70≤115－m≤90，∴25≤m≤45，即25≤m≤40. 综上得，25≤m≤50.

【例3】．潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A，B两类蔬菜，

两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种种植A类蔬菜面积(单种植B类蔬菜面积(单位：总收入(单位：植户位：亩) 亩) 元) 3 1 12 500 甲 2 3 16 500 乙说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等；亩为土地面积单位． (1)求A，B两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；

(2)某种植户准备租20亩地用来种植A，B两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案．

解：(1)设A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．

???3x＋y＝12 500，?x＝3 000，?由题意，得解得? ?2x＋3y＝16 500.???y＝3 500.

答：A，B两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．

(2)设用来种植A类蔬菜的面积为a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20－a)亩．

??3 000a＋3 500

由题意，得?

?a＞20－a.?

20－a≥63 000，

∵a取整数，为：11,12,13,14.

∴租地方案为：类别 A B

11 9

解得10＜a≤14.

种植面积(亩) 2 18 3 17 4 16 【例4】.某学校计划将校园内形状为锐角△ABC的空地（如图）进行改造，将它分

割成△AHG、△BHE、△CGF和矩形EFGH四部分，且矩形EFGH作为停车场，经测量BC=120m，高AD=80m，

（1）若学校计划在△AHG上种草，在△BHE、△CGF上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的面积与种花的面积相等？

（2）若种草的投资是每平方米6元，种花的投资是每平方米10元，停车场铺地砖投资是每平方米4元，又如何设计矩形的长、宽，使得△ABC空地改造投资最小？最小为多少?

解、（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米由△AHG∽△ABCBC=120，AD=80可得：

HG80?x3?∴ HG?120?x 12080 2

33=xx）22

1313∴ 解得x=40 （· 120?x）（·80?x）??x·x2222

BE+FC=120－（120?∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。（2）设改造后的总投资为W元 W=

13133 （· 120?x）（·80?x）·6??x·x·10?x(120?x)·4?6x2?240x?28800=222226(x－20)2+26400

∴当x=20时,W最小=36400

答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。

【例5】.我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，

州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题. 特苦荞青花野生车茶椒蘑菇 A型每辆汽车运载量（吨） B型 C型 2 4

车型每辆车运费（元） 500 A 1800 B 1000 C 2

2 1 2 6 （1）设A型汽车安排x辆，B 型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式. （2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案. （3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费. 解：（1）法①根据题意得

4x?6y?7?21?x?y??120化简得：y??3x?27

（2）由

?x?4??y?4?21?x?y?4??x?4???3x?27?42?21?x??3x?27?45?x?7??，解得 3. 得 ?

∵x为正整数，∴x?5,6,7.故车辆安排有三种方案，即：方案一：A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆方案二：A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆方案三：A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆（3）设总运费为W元，则

W?1500x?1800??3x?27??2000?21?x?3x?27?

?100x?36600

∵W随x的增大而增大，且x?5,6,7 ∴当x?5时，

W最小?37100元

答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为37100元。

【例6】.为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对

部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．

（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．

3030+?1xx+25根据题意得：．

方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x2﹣35x﹣750=0．解之，

得x1=50，x2=﹣15．

经检验，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．

但x2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．

答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．

方案一：由甲工程队单独完成．所需费用为：2500×50=125000（元）．方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．

【例7】. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用

元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：

类别进价售价彩电 2000 2200 冰箱 1600 1800 洗衣机 1000 1100 160000