高考数学《集合与常用逻辑用语》课后练习
一、选择题
1．给出如下四个命题：
①“x2?5x?0”是“|x?1|?1”的充分而不必要条件；
②命题“若a??1，则函数f(x)?ax2?2x?1有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p是q的必要条件，则?p是?q的充分条件；
④在VABC中，“A?B”是“sinA?sinB”的既不充分也不必要条件． 其中正确的命题的个数是（ ） A．1 【答案】A 【解析】 【分析】
利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由x2?5x?0，解得0?x?5；由|x?1|?1，解得0?x?2； 所以，“x2?5x?0”是“|x?1|?1”的必要不充分条件，故命题①错误；
②由函数f?x??ax?2x?1有一个零点，当a?0时，函数f?x??2x?1有一个零点，
2B．2 C．3 D．4
符合题意；当a?0时，由D=4+4a?0，解得a??1，此时函数有一个零点； 所以，函数f?x??ax?2x?1有一个零点的等价条件为a??1，
2故命题“若a??1，则函数f?x??ax?2x?1有一个零点”的逆命题为“函数
2f?x??ax2?2x?1有一个零点，则a??1”此命题为假命题，故命题②错误；
③若p是q的必要条件，可得q?p，则?p??q，所以?p是?q的充分条件，故命题③正确；
④在?ABC中，若A?B，由于A?B??，必有B???A，若A，B都是锐角，有
sinA?sinB成立；若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有??A不是钝角，由于
?A?B??，必有B???A?，此时有sin???A??sinA?sinB；
2若sinA?sinB，当A不是锐角时，有A?B，当A为锐角时，仍可得到A?B； 故“A?B”是“sinA?sinB”的充要条件，故命题④错误. 综上，命题③正确. 故选：A. 【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.
2．已知集合A?xx?2x?3?0，B?xlg?x?1??1，则eRAIB?（ ）
2????????C．?x?1?x?3?
【答案】C 【解析】 【分析】
A．x?1?x?3
??D．?x?1?x?9?
B．x?1?x?9
解出集合A、B，再利用补集和交集的定义得出集合eRA?B. 【详解】
解不等式x2?2x?3?0，得x??1或x?3；
解不等式lg?x?1??1，得0?x?1?10，解得?1?x?9.
???A?xx?1或x3，B??x?1?x?9?，则eRA??x?1?x?3?，
因此，eRA?B?x?1?x?3，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
??????
3．a??12是函数f(x)?ax?x?1有且仅有一个零点的（ ） 4B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
A．充分不必要条件 条件 【答案】A 【解析】 【分析】
1代入函数证明充分性，取a?0得到不必要，得到答案. 4【详解】
将a??11?1?当a??时，f(x)??x2?x?1???x?1??0，x??2，充分性； 44?2?当a?0时，f(x)??x?1?0，x??1，一个零点，故不必要. 故选：A. 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
2
4．已知命题p:?m?R，m?1?0，命题q:?x?R，x2?mx?1?0恒成立，若p，q至少有一个是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．?2,?1?
?B．???,?2?
C．?2,?1
??D．??1,???
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可判断命题p为真命题，所以可得命题q必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】
因为p，q中至少有一个为假命题，而命题p:?m?R，m?1?0为真命题； 所以命题q必定为假命题，所以??m2?4?1?0，解得m??2或m?2. 又命题p:?m?R，m?1?0为真命题，所以m??1，于是m??2. 故选：B. 【点睛】
本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
5．已知下列四个命题
P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??； P2：若f(x)?ex?e?x，则?x?R,f(?x)??f(x)
P3：若f(x)?x?1则?x0?(0,??),f?x0??1 x?1P4：在VABC中，若A?B，则sinA?sinB
其中真命题的个数是（ ） A．1 【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面垂直关系判断P1错误；根据函数奇偶性判定P2正确，利用基本不等式性质判断
B．2
C．3
D．4
P3不正确，结合三角形边角关系判定P4正确.
【详解】
解：P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??不一定成立，必须是任意直线；故命题P1错误，
P2：若f(x)?ex?e?x，则f(?x)?e?x?ex??f(x)，即?x?R,f(?x)??f(x)成
立；命题正确，
P3：当x??1时，f(x)?x?当且仅当x?1?111?x?1??1…2(x?1)??1?2?1?1， x?1x?1x?112，即(x?1)?1，得x?0时取等号，则?x0?(0,??),f?x0??1不x?1成立，故命题为假命题，
P4：在VABC中，若A?B，则a?b，由正弦定理得sinA?sinB，即命题为真命题.
则正确的命题的个数是2， 故选：B. 【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
6．下列四个结论中正确的个数是
2（1）对于命题p:?x0?R使得x0?1?0，则?p:?x?R都有x2?1?0；
（2）已知X:N(2,?2)，则 P(X?2)?0.5
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为
??2x?3； y（4）“x?1”是“x?A．1 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题p:?x0?R使得
2x0?1?0，则?p:?x?R都有x2?1?0，是错误的；
1?2”的充分不必要条件. xB．2
C．3
D．4
（2）中，已知X?N2,??2?，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x?2，所
以 P(X?2)?0.5是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
??2x?3是正确； 和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为y（4）中，当x?1时，可得x?所以“x?1”是“x?【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
111?2x??2成立，当x??2时，只需满足x?0，
xxx1?2”成立的充分不必要条件． x
7．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平
面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
Q点P不在直线l、m上，
?若直线l、m互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平
行，即必要性成立，
若过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，则直线l、m互相平行成立，反证法证明如下：
若直线l、m互相不平行，则l，m异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的充要条件， 故选：C． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
8．已知集合M?y|y?3A．{x|0?x?1} 【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合M,N，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合M?y|y?3?x?，N?{x|y?1?x}，则MIN?（ ）
C．{x|x?1}
D．{x|x?0}
B．{x|0?x?1}
?x??{y|y?0},N?{x|y?1?x}?{x|x?1}，
所以M?N?{x|0?x?1}. 故选：B． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合M,N是解答的关键，着重考查了计算能力．
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