【课题】 3.2 复数的运算（二）
【教学目标】
知识目标：
理解复数的指数形式与极坐标形式，并会利用它们进行复数的运算． 能力目标：
通过复数相关计算的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．
【教学重点】
复数指数形式、极坐标形式的乘法、除法、乘方运算.
【教学难点】
复数指数形式、极坐标形式的乘法、除法、乘方运算．
【教学设计】
在复数的指数形式与极坐标形式的教学中，首先通过欧拉公式给出复数的指数形式，然后介绍复数更为简洁的极坐标形式，这两种形式在电学中应用很广泛，所以要求学生会进行复数的指数形式、极坐标形式和代数形式之间的互化．这三种形式都是用有序实数对(r,?)来确定一个复数．但是在复数的三角形式中，辐角可以用角度来表示，也可以用弧度来表示，而在指数形式中，辐角的单位只能是弧度．例10是把两个代数形式的复数化为指数形式的知识巩固性题目，解题关键是求出复数的模和辐角，与介绍复数的三角形式时一样，可借助数形结合的方法求复数的模和辐角，另外要提醒学生注意，辐角不要用角度表示，一定要用弧度表示．例11是把指数形式的复数转化为代数形式的知识巩固性题目，例12、例13分别介绍了如何使用复数指数形式的运算法则进行计算，例14、例15、例16是有关复数极坐标等形式的知识巩固性题目，这些知识为复数的应用奠定了基础．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学 过 程 *揭示课题 3.2复数的运算 *动脑思考 探索新知
教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 了解 0 1
教 学 过 程 1.复数的指数形式 欧拉在研究指数函数与三角函数间的关系时，证明了一个重要公式 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 详细分析讲解 总结 归纳 详细分析讲解 思考 理解 记忆 理解 记忆 带领 学生 总结 20 2
e?cos??isin?， 故由复数的三角表示有 i?z?rei? （3．12） 这种形式叫做复数的指数形式.其中e?2.71828是一个无理数.并规定: 复数的指数形式中，辐角只能用弧度表示. 1设z1?r1e，z2?r2ei?i?2复数的乘、除运算法则可以用复，数的指数形式表示为 r1ei?1?r2ei?2?r1?r2ei(?1??2) （3.13） (rei?)n?rnein? （3.14） r1ei?1?r2ei?2?r1i(?1??2) （3.15） er2【小提示】 可以看到，复数指数形式的乘法、除法与乘方的运算，恰好与我们学习过的实数指数幂的运算法则相一，p，q?R时 致．即当a?0，a?1ap?aq?ap?q,(ap)q?apq. *巩固知识 典型例题 例10 把下列复数化为指数形式： （1）z1??1?3i； （2）z2??2． 分析 将复数的代数形式化为指数形式的关键是求出复数的模与辐角． 解 （1）由a??1,b??3知点Z1(?1,?3)在第三象限，故辐角为第三象限的角．所以 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过 例题 进一 步领 会
教 学 过 程 r?教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引领 讲解 说明 观察 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 3
(?1)?(?3)?2． 22又 tan???3?3， ?12π所以 argz1??． 3因此复数z1??1?3i的指数形式为 z1?2e（2）由a??2,i(?2?)3． b?0，知r??2?2， argz2??．因此复数z2??2的指数形式为 z2?2eiπ． 例11 把3ei5?6化为代数形式. 分析 将复数的指数形式化为代数形式时，要首先将复数化为三角形式． 解 由于复数3e5?6i5?6的模r?3，辐角????，所以 63ei?3(cos5?5??isin) 66?3(?31?i) 22??333?i． 22i3π4例12 计算： (1)5e解 (1) 5ei3π4iπ6?2e ； (2)10e?5ei(3ππ?)46iπ6iπ4i3π8 ． ?2e＝5?2?e＝10ei 11π12.
教 学 过 程 (2) 10e?5eπi4i3π8教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 40 ?10e5π3πi(?)48 ?2e例13 计算 (3e解 (3ei5π66i5π66πi(?)8. ),并将结果用代数形式表示． )?(3)6ei5π ?27(cos5π+isin5π) ??27. *动脑思考 探索新知 2．复数的极坐标形式 详细 思考 理解 记忆 理解 记忆 带领 学生 总结 在电学中，经常采用更简洁的记号r??，来表示模为r、分析讲解 辐角为?的复数，这种形式叫做复数的极坐标形式.即 r(cos??isin?)＝r??． 总结 归纳 设复数z?r??，z1?r1??1，z2?r2??2，复数的乘、除 运算法则可以用极坐标形式表示为 详细z1z2?r1r2?(?1??2) （3.16） 分析讲解 z1r1??(?1??2)(z2?0) （3.17） z2r2zn?rn?n? （3.18） 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 通过 例题 进一 步领 会 注意 观察 45 4
*巩固知识 典型例题 2π2π?isin)化为极坐标形式． 552π，解 因为r?2，??所以 52π2π2π 2(cos． ?isin)?2?555π例15 把复数10?化为代数形式． 3πππ解 10??10(cos?isin) 333例14 把复数2(cos
教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 说明 主动 求解 学生 是否 理解 知识 点 55 70 13?10(?i). 22?5?53i． 例16 已知复数z1?4? 解 z1z2?42?(z3ππ求z1z2，1． ，z2?2?，z4223ππ5π3π?)?42??42?(?)， 4244z43πππ?(?)?22?． 1?z24242*运用知识 强化练习 1. 把下列复数化为指数形式： （1）3?3i； （2）?8． 2. 把5ei3?4 提问 巡视 指导 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 化为代数形式． 3. 计算下列各题： (1) 3ei3π5?2e ； i7π88iπ3(2) (2e )． zππ4. 已知复数z1?2?，z2?3?，求z12，z1z2，1． z236*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 什么是复数的极坐标形式？复数的极坐标运算法则是什么？ 结论： 质疑 归纳 回答 理解 强化 师生共同归纳强调重点 在电学中，经常采用更简洁的记号r??，来表示模为r、强调 辐角为?的复数，这种形式叫做复数的极坐标形式．即 r(cos??isin?)＝r??． 设复数z?r??，z1?r1??1，z2?r2??2，复数的乘、除 运算法则可以用极坐标形式表示为 5
2016数学(高教版)职业模块工科类教案：复数的运算(二)
