【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（8分）抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3物线的对称轴为直线l，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．
，0）和点B（0，3），且这个抛
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用割补法求ABC的面积． 【解答】解：（1）∵抛物线∴
由上两式解得
经过A、B（0，3）
∴抛物线的解析式为：
（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=把x=
代入，
，4）
得y=4
；
则点C坐标为（
设线段AB所在直线为：y=kx+b 解得AB解析式为：
∵线段AB所在直线经过点A抛物线的对称轴l于直线AB交于点D ∴设点D的坐标为D
、B（0，3）
第26页（共32页）
将点D∴点D坐标为
代入
，
，解得m=2
∴CD=CE﹣DE=2
过点B作BF⊥l于点F∴BF=OE=∵BF+AE=OE+AE=OA=
∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD?BF+CD?AE ∴S△ABC=CD（BF+AE）=×2×
=
【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积．解答时注意数形结合．
25．（10分）空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz．这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示．
若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6
第27页（共32页）
层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）．这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．
（1）如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为 （2，3，2） ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 12 个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是 ①②⑤ ；（只填序号） ①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式． ②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数． ③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同． ④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．
⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数．
（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
几何体 单位长方体的个表面上面积为表面上面积为表面上面积为表面有序数组 （1，1，1） （1，2，1） （3，1，1） （2，1，2） （1，5，1） 5 10 2 10 4 4 8 4 3 2 6 6 2 4 2 4 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3 数 S1的个数 S2的个数 S3的个数 积 4S1+2S2+4S3 2S1+6S2+6S3 4S1+8S2+4S3 10S1+2S2+10S3 第28页（共32页）
（1，2，3） （1，1，7） 6 12 6 4 12S1+6S2+4S3 7 14 14 2 14S1+14S2+2S3 （2，2，2） … 8 8 8 8 8S1+8S2+8S3 … … … … … 根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）；（用x、y、z、S1、S2、S3表示）
（4）当S1=2，S2=3，S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积．（缝隙不计）
【分析】（1）根据有序数组（x，y，z）的定义即可判断； （2）根据有序数组（x，y，z）的定义，结合图形即可判断； （3）探究观察寻找规律，利用规律即可解决问题；
（4）当S1=2，S2=3，S3=4时S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy），欲
第29页（共32页）
使S（x，y，z）的值最小，不难看出x、y、z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数）．在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，2，6），（1，3，4），（2，2，3）．求出各个表面积即可判断；
【解答】解：（1）这种码放方式的有序数组为（2，3，2），组成这个几何体的单位长方体的个数为2×3×2=12个， 故答案为（2，3，2），12；
（2）正确的有①②⑤． 故答案为①②⑤；
（3）S（x，y，z）=2yzS1+2xzS2+2xyS3=2（yzS1+xzS2+xyS3）．
（4）当S1=2，S2=3，S3=4时S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy） 欲使S（x，y，z）的值最小，不难看出x、y、z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数）． 在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，2，6），（1，3，4），（2，2，3）．
而S（1，1，12）=128，S（1，2，6）=100，S（1，3，4）=96，S（2，2，3）=92
所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为：（2，2，3）， 最小面积为S（2，2，3）=92．
【点评】本题考查几何变换综合题、空间直角坐标系、有序数组（x，y，z）的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考创新题目．
26．（10分）如图：一次函数y=﹣x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=﹣x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．
（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值； （2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．
第30页（共32页）
2024年中考数学试题含答案 (60)
