小升初数学衔接班第3讲——一元一次方程的解法（一）
一、学习目标
1、了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，掌握等式的基本性质；
2、会解一元一次方程，了解一元一次方程解法的一般步骤，并经历和体会解方程时运用的“转化”的过程和思想。
二、学习重点
掌握去分母、去括号、合并、系数化为1的方法的使用及其依据。
三、课程精讲 1、引入
古代诗歌曰：“我问开店李三公，多少客人在店中？一房七客多七客，一房九客一房空。请你仔细算一算，多少房间多少客。” 2、知识回顾
（1）什么是方程
我们在小学就学习过方程，所谓方程，就是含有未知数的等式。 （2）去括号法则
在本讲中，我们要用到上一讲学习过的去括号法则，请同学们提前复习一下。 例1、化简下列式子
（1）(2a?3b)?(a?4b)
（2）3(2x?y)?2(x?4y)
思路导航：
回忆去括号法则，并严格遵循这一法则。 解答：
（1）原式?2a?3b?a?4b
?2a?a?4b?3b ?a?b
（2）原式?6x?3y?2x?8y ?6x?2x?8y?3y ?4x?5y
点津：
去括号是解一元一次方程过程中很容易出现错误的地方，请同学们在做题过程中引起重视，多检查。 3、新知探秘
知识点一 方程的解与解方程
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 例如，当x?3时，在方程3x?2?4x?1中 左边=3?3?2?11 右边=4?3?1?11
所以，左边=右边，故x?3是方程3x?2?4x?1的解。
例2、检验下列括号里的数是不是它前面方程的解。 （1）3y?1?2y?1 （y?4,y?2） （2）(2?x)(3?x)?0
（x?0,x?2）
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思路导航：回忆方程的解的定义，并运用它解题。 解答：
（1）当y?4时，左边?3?4?1?11，右边?2?4?1?9 所以，左边?右边，y?4不是方程的解。
当y?2时，左边?3?2?1?5，右边?2?2?1?5 所以，左边=右边，y?2是方程的解。
（2）当x?0时，左边?(2?0)(3?0)?6，右边=0 所以，左边?右边，x?0不是方程的解。 当x?2时，左边?(2?2)(3?2)?0，右边=0 所以，左边=右边，x?2是方程的解。 点津：
求方程的解的过程，叫做解方程。
我们在小学已经学习过简易方程，比如，3x?4?9，a?5?3(a?1)?3等，像这样只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
知识点二 等式的性质
既然方程是一种特殊的等式，那么在解方程之前，我们先来研究等式的性质。
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如上图，从左到右，我们在保持平衡状态的天平两边加上相同的重量，天平仍保持平衡；从右到左，我们在保持平衡状态的天平两边减去相同的重量，天平仍保持平衡。等式与天平的平衡类似，于是有：
等式的性质1 等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
类似的，在上图中，观察从左到右和从右到左天平两边的变化，可以类比得到等式的又一性质：
等式的性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
例3、填空
（1）若3?2?x，那么x?____________；
（2）若x?y?6，那么x?6?_____________；
3x?y?2，那么y?2?_____________； 4（4）若3x?24，那么x?_________。
（3）若
思路导航：利用等式的性质达到使等式变形的目的。 解答： （1）1； （2）y；
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3y（?32）?x；
4（4）8。
点津：养成言之有据的习惯，即培养自己的理性思维。
例4、判断
（1）若ax?ay，则x?y；
（2）若x?y，则x?5?5?y；
b； a（4）若5x?2?6x?3，那么x?1。
（3）若ax?b?0(a?0)，则x?思路导航：为题目中给定的变形式找依据。 解答：
（1）错，若a?0，则不能用等式的性质2；
（2）错，利用等式的性质1，可得x?5?y?5，而并非题目所给结果； （3）错，利用等式的性质1，得ax??b，再利用等式的性质2，得x??b； a（4）对，利用等式的性质1，得3?2?6x?5x，即x?1。
点津：此题与上题在逻辑上正好相反，上题是按依据来变形，此题是为变形找依据，带有逆向思维的成分，属于更高层次的要求。
知识点三 解一元一次方程（一）系数化为1
mx?n（其中m,n为常数，m?0）是比较简单的一元一次方程。解这类方程时，可以利用等式的性质2，将未知数的系数化为1即可。
例5、解下列方程 （1）15x?60
3m?2 2（3）2.5p?1.5 （4）3.1x?0
（2）
思路导航：将系数化为1其实是利用等式的性质2。 解答：
（1）方程两边同时除以15，得即x?4
（2）方程两边同时除以
15x60 ?15153333，得m??2? 22224 3（3）2.5p?1.5
即m?方程两边同时除以2.5，得
2.5p1.5? 2.52.53 / 11
即p?
3 5
3.1x0 ?3.13.1（4）方程两边同时除以3.1，得
即x?0
点津：将系数化为1实际上是将此类方程化为形如x?a的最简单的方程。
知识点四 解一元一次方程（二）移项
我们来研究方程
5x?2?3x?4 （1）
的解法。
如果我们能把这个方程变形为上述简单方程就能很容易求出解。上述简单方程的一边只含有x的项而没有常数项，而另一边只有常数项而没有含x的项。
所以，根据等式的性质1，方程（1）两边同时加上2，即
(5x?2)?2?(3x?4)?2
于是，得到一个新的方程
（2）
这个方程与原方程的解是相同的，称其为原方程的同解方程。 再根据等式的性质1，方程（2）两边同时减去3x，即
5x?3x?(3x?6)?3x 于是，得到与原方程同解的方程
（3） 2x?6
将这个方程中未知数的系数化为1，得x?3。 将方程（1）与方程（2）作比较
5x?3x?6
这个变形可以看作是把方程左边的常数项?2改变符号后，移到方程的右边。 同样，将方程（2）与方程（3）作比较
这个变形又可以看作是把方程右边的含x的项3x改变符号后，移到方程的左边。 这种变形叫做移项。
移项法则：把方程一边的项改变符号后移到方程的另一边，方程的解不变。 求方程（1）的解的过程可以写为 解：移项，得5x?3x?4?2 合并，得2x?6
方程两边同除以2，把x的系数化为1，得x?3。
例6、解下列方程
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x?7?5?x 235（2）6y??4y?
44x（3）?3x?1
2（4）4x?1?4?3x
（1）
思路导航：在计算的过程中，一定要依据移项的法则求解。 解答：
（1）移项，得7?5?x?合并，得2?1x 211x，即x?2 22系数化为1，得x?4
53（2）移项，得6y?4y??
44合并，得2y?2 系数化为1，得y?1
1（3）移项，得1?3x?x
255合并，得1?x，即x?1
222系数化为1，得x?
5（4）移项，得4x?3x?4?1 合并，得7x?5
5系数化为1，得x?
7点津：
移项的本质是利用了等式的性质1。
通过移项和合并，我们把较复杂的一元一次方程变形为形如mx?n(m?0)的简单方程。这种将复杂问题转化为简单问题的数学思想值得我们加以总结。
知识点五 解一元一次方程（三）去括号和去分母
如果一元一次方程中含有括号，我们需要利用上一讲学习的去括号法则，将括号去掉，再将其转化为较简单的形式，利用移项和合并，最终化为最简单的方程，从而求出方程的解。 例7、解下列一元一次方程 （1）4x?2?2(x?4)
（2）3(y?7)?2[9?4(2?y)]?22
思路导航：当方程中含有括号时，将括号去掉，转化为较为简单的方程。 解答：
（1）去括号，得4x?2?2x?8 移项，得4x?2x?8?2 合并，得2x?10
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小升初数学衔接班第3讲——一元一次方程的解法(一)
