,.
习题四
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用
d2???2??0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所示．题
,.
中所述，?S＜＜R，故???S→0，所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复力的方向R始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
d2?mR2??mg?
dt令??2g，则有 Rd2?2???0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
题4-2图
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有
F??k串xF1??k1x1
F2??k2x2
又有 x?x1?x2
x?所以串联弹簧的等效倔强系数为
FFF?1?2 k串k1k2k串?k1k2
k1?k2,.
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为
T?2???2?m(k1?k2)m ?2?k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有
k并x?k1x1?k2x2
故 k并?k1?k2 同上理，其振动周期为
T??2?m
k1?k24-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
题4-3图
解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
d2xmgsin??T1?m2 ①
dtT1R?T2R?I? ②
,.
d2x?R? T2?k(x0?x) ③ 2dt式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
Id2x(mR?)2??kxR
RdtkR2令 ??
mR2?I2则有
d2x2??x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
mR2?Im?I/R2T??2?(?2?) 2?KkR2?4-4 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t??32?)3(SI)的规
律作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
A?0.1m,??8?,?T??12?1?s,?0?2?/3 ?4?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s
am??2A?63.2m?s?2
(2) Fm?am?0.63N
E?12mvm?3.16?10?2J 2,.
Ep?Ek?当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即
1E?1.58?10?2J 212112kx??(kA) 22222A??m 220∴ x?? (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：
(1)x0??A；
(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A处向负向运动； 2A2处向正向运动．
(4)过x??试求出相应的初位相，并写出振动方程．
?x0?Acos?0解：因为 ?
v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
?1???2???3??4??332?35?42?x?Acos(t??)
T2?3x?Acos(t??)
T22??x?Acos(t?)
T32?5x?Acos(t??)
T44-6 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：
(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；
大学物理机械振动习题集解答
