?2 五、
6
五、高等数学试题 2011/01/14
二、填空题
1. 设y = lnx, y(n)(1) = ． 2.
??1?1ex1?e2xdx? ．
3．
(x?cosx2)xdx? ．
1下方的平面图形的面积为＿＿＿． 1?x24．位于y轴右侧，x轴上方，曲线y?5．水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，则闸门所受到
的水压力为＿＿＿＿． 三、计算下列各题
1. 求极限limx?01?xsinx?cosx. 2sinx2. 求函数. f(x)???ln(1?x),x?0,的导数. x?0,?sinx,?x?ln(1?t2),d2y3. f(x)??求2．
?y?t?arctant,dxt?14. 确定曲线f(x)?四、求下列积分 1．2．
?x0(t?1)(t?2)2dt的凹凸区间与拐点．
??10x2cosxdx x41?x2dx．
五、级数 1. 求幂级数
nnx在收敛域内的和函数。 ?nn?13?an?1)收敛，?bnn?1??2．设级数
?(an?1?n(bn?0)收敛，证明级数?anbn绝对收敛。
n?1?六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高 七、设f (x)在[0, 1]上可微，且f(1)?2?120e1?xf(x)dx，证明至少存在一点??(0, 1)，使得f?(?)?2?f(?).
2
答案：一、1. B. 2. C. 3. A. 4.D. 5. C
二、1. (?1)n?1(n?1)!. 2. arcsinex + C. 3.
2?. 4. . 5. 24g(KN). 32?1,x?0,3141124?),(2,?) 三、1. . 2. f?(x)??x?1, 3. , 4.拐点(,?423813?cosx,x?0,?四、1. xsinx?2xcosx?2sinx?C. 2. 五、1.
2? 323x.
(3?x)2324?,h?。 813六、Vmax?二、填空题
六、高数2013/01/08
1?1?sinx?xsin 1．已知f(x)??xx?b?x?0x?0在x?0处连续，则b=
2．曲线y = lnx在点 处的切线平行于y = 2x ? 3. 3．已知F(x)是sinx2的一个原函数，则d(F(x2))=
nx 4．幂级数?n的收敛半径为__________。 n?1n3??x?t? 5．设f(x)?limt??，则f??(0)= 。 x???x?t?三、计算题 1．求limx?x?2lnsinx。 2(??2x)?x?acos3td2y2．设?，求2。 3dxy?asint?3．已知方程x?四、计算积分
2 1．求xcosxdx。
?y?x1edt??t2x2?x0costdt确定函数y = y(x)，求
dy。 dxx?0? 2．求
?1121?x2dx。 2x2五、求曲线y?x?1的凹凸区间、拐点及渐近线。 x六、一密度为2.5?103（单位：kg/m3），底半径为r(单位：m)，高为h(单位：m)的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切，求将这个圆柱体捞出水面所做的功。
?n?1nn?1七、求幂级数?x的和函数，并求?n的和。
n?0n!n?02n!?八、设函数f (x)在[0, 1]上非负连续，证明：
(1)存在x0?(0,1)，使在[0,x0]上以f (x0)为高的矩形面积S1等于在[x0,1]上以y = f (x)为曲边的曲边梯形面积S2。
(2)若函数f (x )在(0, 1)内可导，且f?(x)??2f(x)x，则(1)中的x0是唯一的。 答案
七、高数2014/01/13
一 单项选择题（每小题4分，共24分） 1 若函数f(x)满足
f'(x)?ef(x)，且f(0)?1 ，则 f(n)(0)?（ ）.
A: (n?1)!?en, B: n!?en, C: (n?1)!?en?1, D: n!?en?1.
2?2 对于积分 I??(2sinx0?2?sinx)dx, 则 I（ ）.
A：=2? B: ?0 C：?0 D：?0 .
?x33 设 f(x)??,x?1? ，则f(x)在[0，2]上满足的Lagrange 中值定理的? =??x2?x?1,x?1（ A：
32, B： 737374, C：2 或4, D：?2 或4.
14 极限
lim(sinxx?ln(1?x)x?0x)?（ ）.
1?1?11A：e6 B：e6 C：e3 D：e3
5 若f(x)连续，且
?0?1xf(x)dx?0, ?10xf(x)dx?0, 则（ ）.
A：当x?(?1,1)时，f(x)?0， B：当x?(?1,1)时，f(x)?0， C：f(x)在(?1,1)至少有一个零点. D: f(x)在(?1,1)必无零点.
6 若函数 F(x)??x0(2t?x)?f(t)dt， 其中f(x)在(?1,1)二阶可导，
并且f'(x)?0，当x?(?1,1)时, 则（ ）.
A: F(x)在x?0取极大值 ; B: F(x)在x?0取极小值 ;
C: F(x)在x?0不取极值 , 点(0,0)也不是曲线y?F(x)的拐点；
.
）D: F(x)在x?0不取极值, 但是点(0,0)是曲线y?F(x)的拐点.
二 填空题（每小题4分，共24分） 7 函数
f(x)?x3?6x2?1 在x?(?1,1)的极大值是 （
）.
8 反常积分
??1xx?12dx?（ ）.
29 曲线y?k(x2?3)2在拐点处的法线经过原点，则常数k?（ ）.
10 曲线
y??tantdt位于0?x??0x4的弧长是（ ）.
11 若f(x),g(x)在(??,??)连续，且 g(x)?则
?20f(x)dx?10x,
?10g(x)dx??f(x)dx? （ ）.
02d?ex?1?12 ??展开成关于x的幂级数为（ ）.
dx?x?三 解答下列各题，应有必要的步骤或说明（共52分）
x2?113 （8分）求f(x)? 的间断点，并指出其类型.
sin(??x)14 （8分）若f(x)非负连续，且f(x)??x0?f(x?t)dt?sin4x, 求f()的值.
215
x4a3b2?x?x?2x在x??2处 （8分） 确定a,b,?的值，使得f(x)?432取极值，在x??（???2）处使f'(?)?0，但f(?)不是极值.
|f?(x)|?q?1，16 （8分）设函数f (x)在[a,b]上满足a?f(x)?b，令un?f(un?1)，n?1,2,3,?,u0?[a,b]，
证明：级数
?(un?1?n?1?un)绝对收敛。
17 （8分）设
?1?t2??xedt,x?0f(x)??,
?1?e,x?0?计算
?0?2(x?1)2f(x?1)dx.
18 （8分）求在上半平面由曲线 x?的平面图形，
（1）面积,（2）围绕
y，y?2?x2和y??x所围成
y 轴旋转一周的立体体积.
19 （4分）若x?[0，1]时，f\x)?0，证明：对任意正常数?，
参考答案
一 A B A B C D ; 二 7: 1, 8:
?10f(x?)dx?f(1). ??1?1, 9: , 10: ln(2?1), 11: 5, 232三
13 间断点是 x?k, (k是整数) 14
f(?2)?8. 3????1????1??15 ?a?0, ?a?4 .
?b??3?b?5??16 17
1 618 (1) A? (2) Vy
5 ………………..6分 2??
八、高数2015/01/19
一 计算题（每小题5分，共50分） 1 求极限lim?1?sinx?x?01sinx
?x2?1???x??1??bx??1求a、b，使得f(x)在x??1处连续。 2 设f(x)???a?arccosx?1?x?1??3 设f(x)?ln(x?1?x2) 求f?(0)
?x?2t?t2d2y4 求由参数方程?所确定函数的二阶导数2 3dxy?3t?t?5 求lim?1??x?? x?1x?1lnx??nn2n6 求lim1?a?an?? (a?0)
7 求积分
??e1ex24?x2dx。
8 求积分
|lnx|dx。
?119 设f(x)?x?1(0?x?2)，将f (x)展成余弦级数，并计算?和。 ?22n?1(2n?1)n?1n?10 求幂级数
1(2x?3)n的收敛域，并判断x在收敛域端点处对应的级数是条件收敛还是绝对收敛。 ?n?02n?1?二 设f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x = a处有连续的一阶导数，求f?(a),f??(a)
三 设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx,求a的值.
四 设函数f(x)有连续的一阶导数，又a(a?0)为函数F(x)?13?x0(x2?t2)f?(t)dt的驻点，证明存在
c?(0,a)，使得f?(c)?0.
?a1五 已知正项级数?an收敛，证明：当常数p?时，级数?pn收敛。
2n?1n?1n?六 给出近似计算sin31的方法，并说明该方法能使sin31得近似值精确到四位小数的理由。 七 设函数f(x)在[A,B]上连续，(a,b)?(A,B)，证明limh?0oo?baf(x?h)?f(x)dx?f(b)?f(a)
h八 据资料记载，某地某年间隔30天的日出日落时间如下 日出 日落 5月1日 4点51分 19点04分 5月31日 4点17分 19点38分 6月30日 4点16分 19点50分 试建立一数学模型，说明该地区从5月1日到6月30日哪一天白天最长。 13xx4?x22答案： 一、1：e; 2: a = -?, b = 0; 3: 1; 4: ; 5: ; 6: max?1,a?; 7: 2arcsin??C; 8:
24(1?t)22212?a52?; 9：；10：(1,2]，条件收敛。
e5二、f?(a)???(a)；f??(a)?limx?a?(x)?(x?a)?(x)x?a???(a)??(a)
三、349；八、6月22日
东北大学高数试题上
