三角函数基本性质
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx；配凑角：α=（α+β）－β，β=
（3）降次与升次。 （4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a?bsin(?+θ)，这里辅助角?所在象限由
222
2
2
2
2
2
2
2
???2－
???2等。
a、b的符号确定，?角的值由tan?=
2.证明三角等式的思路和方法。
b确定。 a（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 图象变换：函数y?得到
1、先相位变换 周期变换 振幅变换
Asin??x????A?0,??0?的图象可由y?sinx的图象做如下变换
y?sinx y?sin?x???：把y?sinx图象上所有的点向左（??0） 或向
右（??0）平移?个单位。
y?sin??x???：把y?sin?x???图象上各点的横坐标伸长
（0???1）或缩短（??1）到原来的
1?倍,
纵坐标不变。
y?Asin??x???：把y?sin?x???图象上各点的纵坐标伸长
（A?1）或缩短（0?A?1）到原来的A倍,横坐标不变。
2、先周期变换 相位变换 振幅变换
y?sinx 把y?s（0???1）y?sin?x：inx图象上各点的横坐标伸长
或缩短（??1）到原来的
1? 倍,纵坐标不变。
y?sin??x???：把y?sin?x图象上所有的点向左（??0）或向右
（??0）平移
?个单位. ?y?Asin??x???：si把y?n（A?1）?x???图象上各点的纵坐标伸长
或缩短（0?A?1）到原来的A倍,横坐标不变。
3、 注意：（1）要会画
y?Asin??x???在一个周期的图象：（即五点作图法：设
???x值和对应的y值,描点作图）如y?2sin?2x??,在
6??3?t??x???0,,?,,2?,求相应的
22??0,??上的图象的画法。
（2）注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。 ②要先使函数名称相同再变换。
如：为得到函数y?cos?2x???的图象,只需将函数y?sin2x的图象向 平移 个单
???3?位。
（3）T?2?,f??1（频率）。注意y?Asin??x???、y?Acos??x???相邻两对称轴间的距离T为T??。 2?（4）已知图象求解析式时注意：看振幅求A,看周期求?,看特殊点求?（通常是最大值或最小值时的位置）
（5）已知变换求解析式时,注意只能对自变量x进行变换。
三角函数的图象及性质 表（1） 函数 y?sinx y?cosx y?tanx y y 图y ?? 23?2o 象 x 2? o ? 23?2? 2?o ? 2? 3?2x x 定义域 值域 R R ???x|x?k??,k?Z? ?2??R 奇函数 无界函数 [?1,1] 奇函数 [?1,1] 偶函数 奇偶性 有界性 最小正 周期 sinx?1 cosx?1 2? ????增区间?2k??,2k???22??(k?Z) ?3???减区间?2k??,2k???22??(k?Z)2? ? 单 调 区 间 对称轴 对中称 心 增区间?2k???,2k??(k?Z)减区间?2k?,2k????(k?Z)x?k?(k?Z) ????增区间?k??,k???22? ?(k?Z)无对称轴 x?k???2(k?Z) ?k?,0??k?Z? x?2k??ymax?1;???k??,0??k?Z? ?2???k??,0??k?Z? ??2??2?k?Z?时， x?2k??k?Z?时，ymax?1;x??2k?1???k?Z?时，ymin??1 无最值 最值
x?2k??ymin??1?2?k?Z?时，函数 y?Asin??x??? y?Acos??x??? y?Atan??x??? 2k????2???,k?Z? ?x|x?2???R 定义域 值域 R R [?A,A] [?A,A] ??k??k?Z?时是奇函数, ??k??奇偶性 函数。 有界性 最小正 周期 单 调 区 间 对称轴 ??k???2?k?Z?时是?2?k?Z?时是偶奇函数,??k??k?Z?时是偶函数。 ??k??k?Z?时是奇函数 无界函数 Asin??x????A 2? Acos??x????A 2? ??? ? x?2k????2?(k?Z) 2? x?k????(k?Z) 无对称轴 对中称 心 最值 无最值 三角恒等变化
【基础知识】
一、同角的三大关系：
① 倒数关系 tan??cot?=1 ② 商数关系 ③ 平方关系 sin2??cos2??1
温馨提示：
（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。
（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“?”号。
二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 用诱导公式化简，一般先把角化成
sin?cos?= tan? ； = cot? cos?sin?k???,k?z的形式，然后利用诱导公式的口诀化2简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把?看作是锐角，判断角“+”还是“--”，就加在前面）。
用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间(0,360)的角，再变到区间(0,180)的角，再变到区间(0,90)的角计算。 三、和角与差角公式 ：
000000k???在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 2sin(???)?sin?cos??cos?sin?; cos(???)?cos?cos?sin?sin?;
tan??tan?tan(???)?
1tan?tan? 变 用 tan?±tan?=tan (?±?)(1?tan?tan?)
四、二倍角公式：
sin2?= 2sin?cos?.
cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.
2tan? tan2??21?tan?五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式cos(???)?cos?cos?六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用sin?cos??cos?sin??sin(???) sin?cos??sin?sin?推导出来。
1sin2? 2
三角函数基本性质
