2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数a,b,c满足a?b?c?0，令d?max{a,b,c}，证明：
(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2 二、（本题满分40分）
给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N?分拆为k个互不相交的子集，满足ab?cd?m. A1,A2,?,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同）
三、（本题满分50分）
如图，点D是锐角?ABC的外接圆?上弧BC的中点，直线DA与圆?过点B,C的切线分
CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T，别相交于点P,Q，BQ与AC的交点为X，
求证：AT平分线段XY.
四、（本题满分50分）
设a1,a2,?,a20?{1,2,?,5}，b1,b2,?,b20?{1,2,?,10}，集合
X?{(i,j)1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0}，求X的元素个数的最大值.
2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）
设实数a,b,c满足a?b?c?0，令d?max{a,b,c}，证明：
(1?a)(1?b)(1?c)?1?d2
证明：当d?1时，不等式显然成立
以下设0?d?1，不妨设a,b不异号，即ab?0，那么有
(1?a)(1?b)?1?a?b?ab?1?a?b?1?c?1?d?0
22因此(1?a)(1?b)(1?c)?(1?c)(1?c)?1?c?1?c?1?d
2二、（本题满分40分）
给定正整数m，证明：存在正整数k，使得可将正整数集N?分拆为k个互不相交的子集，满足ab?cd?m. A1,A2,?,Ak，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d（可以相同）证明：取k?m?1，令Ai?{xx?i(modm?1),x?N?}，i?1,2,?,m?1 设a,b,c,d?Ai，则ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1)，
故m?1ab?cd，而m?1m，所以在Ai中不存在4个数a,b,c,d，满足ab?cd?m
三、（本题满分50分）
如图，点D是锐角?ABC的外接圆?上弧BC的中点，直线DA与圆?过点B,C的切线分
CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T，别相交于点P,Q，BQ与AC的交点为X，
求证：AT平分线段XY.
证明：首先证明YX//BC，即证
AXAY? XCYB连接BD,CD，因为
S?ACQS?ABC?S?ABCS?ACQ， ?S?ABPS?ABP111AC?CQsin?ACQAC?BCsin?ACBAC?AQsin?CAQ所以2， ① ?2?2111AB?BCsin?ABCAB?BPsin?ABPAB?APsin?BAP222由题设，BP,CQ是圆?的切线，所以?ACQ??ABC，?ACB??ABP，又
?CAQ??DBC??DCB??BAP（注意D是弧BC的中点），于是由①知AB?AQCQ? ②
AC?APBP因为?CAQ??BAP，所以?BAQ??CAP，
1S?ABQ2AB?AQsin?BAQAB?AQ于是 ③ ??S?ACP1AC?APsin?CAPAC?AP21S?BCQ2BC?CQsin?BCQCQ而 ④ ??1S?BCPBC?BPsin?CBPBP2由②，③，④得
S?ABQS?ACP?S?CBQS?BCP，
即
S?ABQS?CBQ?S?ACP S?BCP又
S?ABQS?CBQ?AXS?ACPAY， ?XCS?BCPYB故
AXAY? XCYB设边BC的中点为M，因为
AXCMBY???1， XCMBYA所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点，交点即为T，故由YX//BC可得AT平分线段XY
四、（本题满分50分）
设a1,a2,?,a20?{1,2,?,5}，b1,b2,?,b20?{1,2,?,10}，集合
X?{(i,j)1?i?j?20,(ai?aj)(bi?bj)?0}，求X的元素个数的最大值.
解：考虑一组满足条件的正整数(a1,a2,?,a20,b1,b2,?,b20)
对k?1,2,?,5，设a1,?,a20中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当ai?aj时，
(i,j)?X，因此至少有?C个(i,j)不在X中，注意到?tk?20，则柯西不等式，我
k?12tkk?1555111512022们有?C??(?tk??tk)??((?tk)??tk)??20?(?1)?30
22525k?1k?1k?1k?1k?12tk5552从而X的元素个数不超过C20?30?190?30?160
另一方面，取a4k?3?a4k?2?a4k?1?a4k?k（k?1,2,?,5），， bi?6?ai（i?1,2,?,20）则对任意i,j（1?i?j?20），有
(ai?aj)(bi?bj)?(ai?aj)((6?ai)?(6?aj))??(ai?aj)2?0
2等号成立当且仅当ai?aj，这恰好发生5C4?30次，此时X的元素个数达到
2C20?30?160
综上所述，X的元素个数的最大值为160.
2017年全国高中数学联合竞赛竞赛二试（B卷）试题和参考答案
