2024年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学 参考答案
一、选择题 题号 1 答案 A 二、填空题 2 D 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 D 11 C 12 A x. 13. -1; 14. ?0,?; 15. 16. y??;2235??
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
?5?1210?a2?a5?2a1?5d?25?a1?5,17.解析：（1）?，求得??an?3n?2................6分
S?5a?5a?10d?55d?3,?31?511111??(?)................8分 （2）bn?an(3n?1)(3n?1)(3n?2)33n?13n?211n?Tn???................12分
69n?62(3n?2)18.
解
析
：
（
1
）
由
题
意
105?107?113?115?119?126?(120?x)?132?134?141?122，
10解得x?8；...............4分
（2）随机变量?的所有取值有0,1,2,3,4.
2C32C42p(??4)?22?;....9分??的分布列为：
C10C10225 0 1 2 3 4 79112227?1??2??3??4??....12分 4522532252255222?19.（1）证明：连接DE，由题意知AD?4,BD?2,?AC?BC?AB,??ACB?90. 222 ?CD?AD?AC,则CD?AB,...............2分
又因为平面PAB?平面ABC，所以CD?平面PAB,?CD?PD, 因为PD?AC，AC,CD都在平面ABC内， 所以PD?平面ABC ；...............4分
（2）由（1）知PD,CD,AB两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D?xyz，
? 且PA与平面ABC所成的角为，有PD?4，
4则A(0,?4,0),C(22,0,0),B(0,2,0),P(0,0,4)
E(?)?0?∴CB?(?22,2,0),AC?(22,4,0),PA?(0,?4,?4) 因为AD?2DB,CE?2EB,?DE//AC,
由（1）知AC?BC,PD?平面ABC，∴ CB?平面DEP...............8分
∴CB?(?22,2,0)为平面DEP的一个法向量.
??n?AC,设平面PAC的法向量为n??x,y,z?，则?
??n?PA,∴??22x?4y?0??4y?4z?0，令z?1，则x?2,y??1，...............10分
∴n?(2,?1,1)为平面PAC的一个法向量. ∴cos?n,CB???4?23??.
24?123, 2故平面PAC与平面PDE的锐二面角的余弦值为
?所以平面PAC与平面PDE的锐二面角为30................12分 20.解析：（1）由题意
?3aba2?4b2222所以a?2b，?e?................4分
2（2）因为三角形?PQF2的周长为42，所以4a?42,?a?2,
2?c，即3a2b2?c2(a2?4b2)?(a2?b2)(a2?4b2).
x2?y2?1，且焦点F1(?1,0),F2(1,0)， 由（1）知b?1，椭圆方程为222),Q(?1,?)， ①若直线l斜率不存在，则可得l?x轴，方程为x??1,P(?1,22722F2P?(?2,),F2Q?(?2,?)，故F2P?F2Q?................6分
222②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?1)， ?y?k(x?1),2222(2k?1)x?4kx?2k?2?0， 由?2消去得y2?x?2y?24k22k2?2,x1x2?2................8分 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??22k?12k?1则F2P?F2Q?(k2?1)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?k2?1.
2k2?24k27k2?17922?(k?1)(?)?k?1???, 代入韦达定理可得F2P?F2Q?(k?1)2k2?12k2?12k2?122(2k2?1)277由k?0可得F2P?F2Q?(?1,)，结合当k不存在时的情况，得F2P?F2Q?(?1,]，
2227...............12分 2ax?1,(x?0)21.解析：（1）f?(x)?ax2
当a?0时，f?(x)?0恒成立，所以函数f?x?是?0,???上的单调递增函数；
所以F2P?F2Q最大值是
ax?11，得， ?0x?ax2aax?11f?(x)??00?x?，得， 2axa11函数单调递增区间为(,??)，减区间为(0,).
aa当a?0时，f??x??综上所述，当a?0时，函数f?x?增区间为?0,???..
当a?0时，函数单调递增区间为(,??)，减区间为(0,)................4分
1a1a1ex即方程(lnx?1)e?x?m的根.
x（2）∵x?[,e]，函数g(x)?(lnx?1)e?x?m的零点，
x?1??lnx?1?ex?1.................6分 ?x?11由（1）知当a?1时， f?x??lnx??1在[,1)递减，在?1,e?上递增，∴f?x??f?1??0.
ex11∴?lnx?1?0在x?[,e]上恒成立.
ex?1?∴h??x????lnx?1?ex?1?0?1?0，...............8分
?x?1x∴h?x???lnx?1?e?x在x?[,e]上单调递增.
e11?1?∴h?x?min?h????2ee?，h(x)max?e..........10分
e?e?令h?x???lnx?1?e?x，h??x???111所以当m??2e?或m?e时，没有零点，当?2ee??m?e时有一个零点................12分
ee?x?1?tcos?,(t为参数）.22.(1)直线l的参数方程为：?
y?tsin?? ……2分
8cos?2222??sin??8cos?,??sin??8?cos?,即y?8x. ??， 2 ……5分sin??2x?1?t,???2(t为参数）,（2）当??时，直线l的参数方程为：?
4?y?2t?2? ……6分
1e代入y?8x可得t?82t?16?0,
22?AB?t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2?83.?S?AOB?
……8分
……10分
112AB?d??83??26.222
……1分
23.（本小题满分10分）
解：(1)由已知，可得x?3?2x?1,即x?3?2x?1.2?x??或x?4. 322
……3分
……4分
2故所求不等式的解集为：(??,?)(4,??). 3???4x?5,x??3,?1?(2)由已知，设h(x)?2f(x)?g(x)?2x?3?2x?1??7,?3?x?, 2?1?4x?5,x?.??2……6分
9?a?(?4?)max,?a??1,x ……7分
??3a?3?0?a??1?只需?1,??,??1?a?6. ……8分
a?6a?3?0???21?4??4,且无限趋近于4，
x
?a?4. ……9分
综上，a的取值范围是(?1,4]. ……10分
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